约瑟夫 (josephus) 问题c++

约瑟夫问题是一个经典的问题，描述如下：已知 n 个人（以编号 1，2，3…n 分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为 k 的人开始报数，数到 m 的那个人出列；他的下一个人又从 1 开始报数，数到 m 的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人只剩下一个。现在要求你编写一个程序，输出最后剩下的人的编号。

以下是使用 C++ 语言实现的代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int josephus(int n, int k, int m) {
    int s = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        s = (s + m) % i;
    }
    return (s + k) % n + 1;
}

int main() {
    int n, k, m;
    cin >> n >> k >> m;
    cout << josephus(n, k, m) << endl;
    return 0;
}

在上面的代码中，josephus 函数接受三个参数，分别是人数 n，起始编号 k 和报数上限 m，返回最后剩下的人的编号。具体实现是使用了一个循环，每次将 s 增加 m，然后对 i 取模，最后返回 (s + k) % n + 1 即可。

以上是一个简单的解法，时间复杂度为 O(n)。如果需要更高效的解法，可以使用数学公式进行计算，时间复杂度可以降为 O(1)。

相关问题

详细解释一下约瑟夫（Josephus）问题的c++解法

约瑟夫问题是一个著名的数学问题，其描述如下：有 n 个人围成一个圆圈，从第 k 个人开始报数，数到第 m 个人出圈，然后从下一个人重新开始报数，数到第 m 个人再出圈，直到所有人都出圈为止。求出最后剩下的人的编号。

下面是一种 C++ 实现的约瑟夫问题的解法：

int josephus(int n, int k, int m) {
    vector<int> v(n, 0);  // 初始化为0
    int cur = -1, cnt = 0, t = n;
    while (t > 0) {
        cur++;
        if (cur == n) {
            cur = 0;
        }
        if (v[cur] == 1) {
            continue;
        }
        cnt++;  // 计数
        if (cnt == m) {
            cnt = 0;
            v[cur] = 1;  // 出圈
            t--;  // 剩余人数减1
            if (cur == k - 1) {
                k--;  // 重新编号
            }
        }
    }
    return k;
}

函数 `josephus` 接受三个参数，分别为人数 `n`，开始报数的人的编号 `k`，以及每次报数的上限 `m`。`vector<int> v(n, 0)` 用于记录每个人是否出圈，0 表示未出圈，1 表示已出圈。`cur` 表示当前报数的人的编号，`cnt` 表示当前报数的次数，`t` 表示当前还剩余的人数。

在循环中，每次循环 `cur` 递增，如果 `cur` 超过了 `n`，则将其重置为 0。如果 `v[cur]` 为 1，说明当前这个人已经出圈，需要跳过。否则，`cnt` 加 1。如果 `cnt` 等于 `m`，说明当前这个人需要出圈，将其标记为 1，`t` 减 1，同时将 `cnt` 重置为 0。如果当前出圈的人是编号为 `k-1` 的人，需要将 `k` 减 1，重新编号。最后返回 `k` 即可。

这种解法的时间复杂度为 $O(nm)$，空间复杂度为 $O(n)$。如果希望更高效的解法，可以使用递推公式，时间复杂度可以降为 $O(n)$。

约瑟夫环绕问题c++

约瑟夫环绕问题是一个经典的数学问题，也被称为约瑟夫问题或约瑟夫斯置换。问题的描述如下：
有n个人围成一圈排队，从第一个人开始报数，数到 m 的人出列，然后从出列的下一个人开始重新报数，直到所有人都出列。要求找出出列的顺序。

解决这个问题的一种常见方法是使用递归。首先，定义一个递归函数，命名为josephus(n,m)，表示n个人中按照m进行报数的出列顺序。递归函数的返回是一个列表，表示出列的顺序。

递归函数的基本情况是，当只有一个人时，该人是最后出列的，直接返回一个只包含该人的列表。

当有多个人时，我们需要找到第一个出列的人。根据问题的要求，第一个出列的人是从出列的下一个人开始重新报数。所以，我们可以递归调用josephus(n-1,m)，表示去掉第一个人后剩下的n-1个人按照m进行报数的出列顺序。然后，将返回的列表中第一个人加入到结果列表中。

最后返回结果列表，表示n个人按照m进行报数的出列顺序。

下面是一个用Python实现的例子：

def josephus(n,m):
if n == 1:
return [1]
else:
remaining = josephus(n-1,m)
idx = (m-1) % len(remaining)
return remaining[:idx] + [n] + remaining[idx+1:]

n = 10
m = 3
result = josephus(n,m)
print(result)

使用上述代码，当有10个人时，按照每次报数3个人出列的规则，最后出列的顺序为[4, 1, 8, 6, 2, 10, 3, 7, 5, 9]。