pytorch PINN求解具有初边值的双曲型pde间断问题的代码（含真实解和误差的图像代码）

以下是一个使用 PyTorch 的 PINN（Physics-Informed Neural Networks）求解双曲型 PDE 间断问题的代码示例。该问题涉及到一个具有初边值条件的双曲型方程，即 Burgers 方程：

∂u/∂t + u ∂u/∂x = ν ∂^2u/∂x^2

其中，u 是变量，ν 是常数。

我们将使用 PINN 求解此问题，该方法结合了神经网络和物理方程，以提高对解的预测能力。

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义双曲型方程
def burgers_eqn(x, t, nu):
    u = np.exp(-0.5*(x-4*t)**2/nu)/(2*np.sqrt(np.pi*nu))
    return u

# 定义神经网络模型
class Net(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(Net, self).__init__()
        self.fc1 = nn.Linear(2, 20)
        self.fc2 = nn.Linear(20, 20)
        self.fc3 = nn.Linear(20, 20)
        self.fc4 = nn.Linear(20, 1)

    def forward(self, x):
        x = torch.tanh(self.fc1(x))
        x = torch.tanh(self.fc2(x))
        x = torch.tanh(self.fc3(x))
        x = self.fc4(x)
        return x

# 定义 PINN
class PINN:
    def __init__(self, nu, net):
        self.nu = nu
        self.net = net
        self.optimizer = optim.Adam(self.net.parameters(), lr=0.001)

    def train_step(self, x, t, u):
        x.requires_grad_()
        t.requires_grad_()
        u_hat = self.net(torch.cat([x, t], dim=1))
        u_x, = torch.autograd.grad(u_hat, x, grad_outputs=torch.ones_like(u_hat), create_graph=True)
        u_t, = torch.autograd.grad(u_hat, t, grad_outputs=torch.ones_like(u_hat), create_graph=True)
        u_xx, = torch.autograd.grad(u_x, x, grad_outputs=torch.ones_like(u_hat), create_graph=True)
        f = u_t + u_hat*u_x - self.nu*u_xx
        loss_u = nn.MSELoss()(u_hat, u)
        loss_f = nn.MSELoss()(f, torch.zeros_like(f))
        loss = loss_u + loss_f
        loss.backward()
        self.optimizer.step()
        self.optimizer.zero_grad()
        return loss.item()

    def train(self, x, t, u, n_iter):
        for i in range(n_iter):
            loss = self.train_step(x, t, u)
            if i % 100 == 0:
                print(f"Iter {i}, Loss = {loss:.4e}")

    def predict(self, x, t):
        u_hat = self.net(torch.cat([x, t], dim=1))
        return u_hat.detach().numpy()

# 设置参数和初始条件
nu = 0.01/np.pi
x = np.linspace(-1, 1, 256)
t = np.linspace(0, 1, 100)
X, T = np.meshgrid(x, t)
U = burgers_eqn(X, T, nu)

# 将数据转换为 PyTorch 张量
x = torch.from_numpy(x[:, None]).float()
t = torch.from_numpy(t[:, None]).float()
u = torch.from_numpy(U).float()

# 初始化神经网络和 PINN
net = Net()
pinn = PINN(nu, net)

# 训练 PINN
pinn.train(x, t, u, n_iter=5000)

# 预测结果并绘图
u_pred = pinn.predict(x, t)
u_pred = np.squeeze(u_pred)
plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.pcolormesh(X, T, U, cmap='jet')
plt.colorbar()
plt.title('真实解')
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.pcolormesh(X, T, u_pred, cmap='jet')
plt.colorbar()
plt.title('PINN 预测')
plt.show()

# 计算误差并绘图
error = np.abs(U - u_pred)
plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.plot(t, np.mean(error, axis=1))
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('平均误差')
plt.show()

在以上代码中，我们首先定义了 Burgers 方程及其真实解，然后定义了一个包含四个全连接层的神经网络模型。接下来，我们定义了 PINN 类，并在其中定义了训练步骤和预测方法。在训练步骤中，我们使用 PyTorch 的自动求导功能来计算方程的残差，并将其加入损失函数中进行优化。在预测方法中，我们使用训练好的神经网络来预测解，并将其转换为 NumPy 数组以进行可视化。最后，我们计算了误差并进行了绘图。

执行此代码后，您应该会看到真实解和 PINN 预测的可视化结果，以及误差随时间变化的图像。