给出一个有效的推送-重贴标签算法,使得其可以在一个二分图中找到一个快速算法来找到 G 的一个最小分割。
时间: 2023-07-16 07:12:50 浏览: 64
推送-重贴标签算法(Push-Relabel Algorithm)是一种解决最大流问题的常见算法,但是也可以用于解决最小割问题。在这里,我们将介绍推送-重贴标签算法来找到一个二分图 G 的最小分割。
首先,我们将二分图 G 分为左侧顶点集合 L 和右侧顶点集合 R。我们将源点 s 连接到 L 中的每个顶点,将 R 中的每个顶点连接到汇点 t。每个边的容量为 1。
我们使用一个 n * n 的矩阵 cap 表示每条边的剩余容量。初始时,cap[i][j] = 1,表示每条边都有一个单位的容量。我们还使用一个 n * n 的矩阵 flow 表示每条边的流量。初始时,flow[i][j] = 0,表示没有流量通过任何边。
我们使用一个数组 height,表示每个顶点的高度。初始时,源点的高度为 n,其他顶点的高度为 0。我们还使用一个数组 excess,表示每个顶点的超额流量。初始时,源点的超额流量为 ∑cap[s][i],其他顶点的超额流量为 0。
推送操作:对于每个顶点 v,如果其超额流量 excess[v] 大于 0 并且存在一条边 (v, u),使得 cap[v][u] - flow[v][u] > 0 且 height[v] = height[u] + 1,则我们可以推送一单位的流量从 v 到 u:flow[v][u] += 1,flow[u][v] -= 1,excess[v] -= 1,excess[u] += 1。
重贴标签操作:对于每个顶点 v,如果其超额流量 excess[v] 大于 0 并且所有与 v 相连的顶点 u 都满足 height[v] ≤ height[u],则我们可以将 v 的高度加一:height[v] += 1。
我们不断进行推送操作和重贴标签操作,直到不存在超额流量大于 0 的顶点。此时,左侧顶点集合 L 中的顶点和右侧顶点集合 R 中的顶点构成了二分图 G 的一个最小割。具体来说,如果一个顶点 v 在 L 中且其高度 height[v] ≤ n,则将其归为 S 集合中;否则,将其归为 T 集合中。
该算法的时间复杂度为 O(n^3),其中 n 是顶点数。
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