EOF经验正交分解法应用的公式
时间: 2023-11-14 21:06:52 浏览: 80
EOF(Empirical Orthogonal Function)经验正交分解法是一种常用的气象学数据分析方法,它可以将大气环流场的时空变化分解为一系列正交的空间模态和时间模态。其公式如下:
假设我们有 $n$ 个时空数据场(例如,每个场包含 $m$ 个空间网格点和 $T$ 个时间步长),那么我们可以将这些场表示为 $n$ 个矩阵 $\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2, \dots, \mathbf{X}_n$,其中每个矩阵的大小为 $m \times T$。我们的目标是找到一组正交基 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n$,使得每个矩阵 $\mathbf{X}_i$ 可以表示为:
$$\mathbf{X}_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \mathbf{e}_j$$
其中 $a_{ij}$ 是矩阵 $\mathbf{X}_i$ 在基 $\mathbf{e}_j$ 上的投影系数,表示第 $i$ 个场在第 $j$ 个空间模态上的贡献。
为了求解这些基和投影系数,我们可以先求出所有场的平均场 $\mathbf{\bar{X}}$:
$$\mathbf{\bar{X}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{X}_i$$
然后我们可以计算协方差矩阵 $\mathbf{C}$:
$$\mathbf{C} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (\mathbf{X}_i - \mathbf{\bar{X}})(\mathbf{X}_i - \mathbf{\bar{X}})^T$$
接下来,我们对矩阵 $\mathbf{C}$ 进行特征值分解,得到特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 和对应的特征向量 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$。我们可以将这些特征向量组成一个矩阵 $\mathbf{V}$:
$$\mathbf{V} = [\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n]$$
然后我们可以将每个场 $\mathbf{X}_i$ 投影到这些特征向量上,得到投影系数矩阵 $\mathbf{A}$:
$$\mathbf{A} = [\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n]$$
其中第 $i$ 列 $\mathbf{a}_i$ 表示矩阵 $\mathbf{X}_i$ 在特征向量 $\mathbf{v}_i$ 上的投影系数。我们可以将矩阵 $\mathbf{A}$ 乘以矩阵 $\mathbf{V}^T$,得到空间模态矩阵 $\mathbf{E}$:
$$\mathbf{E} = \mathbf{A} \mathbf{V}^T$$
空间模态矩阵 $\mathbf{E}$ 的每一行表示一个空间模态,每一列表示一个空间位置。我们还可以计算时间模态矩阵 $\mathbf{T}$:
$$\mathbf{T} = \mathbf{V} \mathbf{A}^T$$
时间模态矩阵 $\mathbf{T}$ 的每一列表示一个时间模态,每一行表示一个时间步长。通过对空间模态矩阵和时间模态矩阵进行适当的缩放和旋转,我们可以得到一组正交的空间模态和时间模态,用于描述大气环流场的时空变化。