应用parareal求解半线性抛物随机微分方程的python代码

半线性抛物随机微分方程可以表示为：

$$
\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u + f(u) + \sigma(u) \dot{W_t}
$$

其中，$\Delta$是拉普拉斯算子，$f(u)$是非线性函数，$\sigma(u)$是关于$u$的函数，$\dot{W_t}$是布朗运动。

在下面的代码中，我们使用parareal方法求解一个简单的半线性抛物随机微分方程。我们使用隐式差分格式来离散化微分方程，同时使用Euler-Maruyama方法来模拟布朗运动。

import numpy as np
from parareal import Parareal

# 定义偏微分方程
def f(u):
    return u * (1 - u)

def sigma(u):
    return u

def g(y, t):
    n = len(y)
    h = 1.0 / (n + 1)
    A = (np.eye(n) - 2 * dt * sigma(y) ** 2 / h ** 2) ** -1
    return A.dot(y + dt * f(y)) + np.sqrt(dt) * sigma(y) * np.random.normal(size=n)

# 定义初始条件
n = 100
y0 = np.random.rand(n)

# 定义时间步长和时间间隔
dt_coarse = 0.1
dt_fine = 0.01
T = 1.0

# 定义粗网格和细网格的求解器
solver_coarse = lambda y0, t0, dt: np.array([g(y0, t0 + i * dt) for i in range(int(dt_coarse / dt))])
solver_fine = lambda y0, t0, dt: np.array([g(y0, t0 + i * dt) for i in range(int(dt_fine / dt))])

# 定义Parareal对象
parareal = Parareal(solver_coarse, solver_fine, dt_coarse, dt_fine, T)

# 求解半线性抛物随机微分方程
y = parareal.solve(y0, 0)

# 输出结果
print(y)

在这个示例中，我们定义了一个简单的半线性抛物随机微分方程，并使用parareal方法求解它。我们首先定义了$f(u)$和$\sigma(u)$，然后定义了初始条件$y0$。我们使用隐式差分格式来离散化微分方程，并使用Euler-Maruyama方法来模拟布朗运动。最后，我们创建了一个Parareal对象，并调用它的solve方法来求解微分方程。

需要注意的是，求解半线性抛物随机微分方程需要更高的计算复杂度，因此在实际应用中需要更多的调整和优化。