条件极值例题_用多元函数条件极值解一道经典数值策划题（一）

题目描述：

某公司要生产一种塑料制品，它的制造成本由以下三个因素决定：

1.原材料成本，每吨为$C_1$元；
2.人工成本，每人每小时为$C_2$元；
3.设备折旧费，每小时为$C_3$元。

该公司现有$N$吨原材料，可以雇佣$M$个人，有$K$台机器可供使用。每件塑料制品需要消耗$W_1$吨原材料，$W_2$人时的人力和$W_3$机器小时。设生产出$x$件塑料制品的收益为$P(x)$元，试求出该公司的最大收益及此时生产的塑料制品数目。

解题思路：

根据题目设定，我们可以列出该问题的目标函数和约束条件：

目标函数：$P(x)$

约束条件：

1.原材料量：$W_1x\leqslant N$

2.人力量：$W_2x\leqslant M$

3.机器量：$W_3x\leqslant K$

4.非负性：$x\geqslant 0$

将目标函数和约束条件转化为多元函数的形式：

目标函数：$f(x_1,x_2,x_3)=P(x_1)$

约束条件：

1.原材料量：$g_1(x_1,x_2,x_3)=W_1x_1-N\leqslant 0$

2.人力量：$g_2(x_1,x_2,x_3)=W_2x_2-M\leqslant 0$

3.机器量：$g_3(x_1,x_2,x_3)=W_3x_3-K\leqslant 0$

4.非负性：$h(x_1,x_2,x_3)=x_1,x_2,x_3\geqslant 0$

然后，使用拉格朗日乘数法求解：

$$L(x_1,x_2,x_3,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\mu)=P(x_1)+\lambda_1(W_1x_1-N)+\lambda_2(W_2x_2-M)+\lambda_3(W_3x_3-K)-\mu x_1-\mu x_2-\mu x_3$$

对$L(x_1,x_2,x_3,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\mu)$求偏导数，并令其等于零，得到如下方程组：

$$\begin{cases} P'(x_1)-\lambda_1W_1-\mu=0\\ -\lambda_2W_2-\mu=0\\ -\lambda_3W_3-\mu=0\\ W_1x_1-N\leqslant 0\\ W_2x_2-M\leqslant 0\\ W_3x_3-K\leqslant 0\\ \lambda_1\geqslant 0,\lambda_2\geqslant 0,\lambda_3\geqslant 0\\ \mu\geqslant 0\\ \lambda_1(W_1x_1-N)=0,\lambda_2(W_2x_2-M)=0,\lambda_3(W_3x_3-K)=0 \end{cases}$$

根据KKT条件，当$x_1,x_2,x_3$满足约束条件时，有$\lambda_1(W_1x_1-N)=0,\lambda_2(W_2x_2-M)=0,\lambda_3(W_3x_3-K)=0$，即$\lambda_1$,$\lambda_2$,$\lambda_3$中至少有一个为零。

因此，我们可以列出所有可能的情况：

1.$\lambda_1=0, \lambda_2=0, \lambda_3=0$

此时，$x_1=0,x_2=0,x_3=0$，目标函数值为$P(0)$

2.$\lambda_1>0, \lambda_2=0, \lambda_3=0$

此时，$x_1=\frac{N}{W_1},x_2=0,x_3=0$，目标函数值为$P(\frac{N}{W_1})$

3.$\lambda_1=0, \lambda_2>0, \lambda_3=0$

此时，$x_1=0,x_2=\frac{M}{W_2},x_3=0$，目标函数值为$P(0)$

4.$\lambda_1=0, \lambda_2=0, \lambda_3>0$

此时，$x_1=0,x_2=0,x_3=\frac{K}{W_3}$，目标函数值为$P(0)$

5.$\lambda_1>0, \lambda_2>0, \lambda_3=0$

此时，$x_1=\frac{N}{W_1},x_2=\frac{M}{W_2},x_3=0$，目标函数值为$P(\frac{N}{W_1})$

6.$\lambda_1>0, \lambda_2=0, \lambda_3>0$

此时，$x_1=\frac{N}{W_1},x_2=0,x_3=\frac{K}{W_3}$，目标函数值为$P(\frac{N}{W_1})$

7.$\lambda_1=0, \lambda_2>0, \lambda_3>0$

此时，$x_1=0,x_2=\frac{M}{W_2},x_3=\frac{K}{W_3}$，目标函数值为$P(0)$

8.$\lambda_1>0, \lambda_2>0, \lambda_3>0$

此时，$x_1=\frac{N}{W_1},x_2=\frac{M}{W_2},x_3=\frac{K}{W_3}$，目标函数值为$P(\frac{N}{W_1})$

最终，我们只需要比较以上八种情况下的目标函数值，即可得到最大收益和此时生产的塑料制品数目。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double P(double x) {
    // 假设收益函数为x的平方
    return x * x;
}

int main() {
    double C1, C2, C3, N, M, K, W1, W2, W3;
    cin >> C1 >> C2 >> C3 >> N >> M >> K >> W1 >> W2 >> W3;

    double x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0; // 初始值
    double maxP = P(0);

    // 枚举所有情况
    for (int i = 0; i <= ceil(N / W1); i++) {
        for (int j = 0; j <= ceil(M / W2); j++) {
            for (int k = 0; k <= ceil(K / W3); k++) {
                if (W1 * i <= N && W2 * j <= M && W3 * k <= K) {
                    double curP = P(i);
                    if (curP > maxP) {
                        maxP = curP;
                        x1 = i;
                        x2 = j;
                        x3 = k;
                    }
                }
            }
        }
    }

    cout << "最大收益为：" << maxP << endl;
    cout << "生产的塑料制品数目为：" << x1 << endl;
    cout << "原材料用量为：" << W1 * x1 << endl;
    cout << "人力用量为：" << W2 * x2 << endl;
    cout << "机器用量为：" << W3 * x3 << endl;

    return 0;
}