一气体系统共有N个分子，则由麦克斯韦速率分布函数f(v)可知速率平方的平均值为

根据麦克斯韦速率分布函数，一气体系统中速率为v的分子数n(v)与速率平方v²成正比，即：

n(v) ∝ v²

因此，速率平方的平均值可以表示为：

<v²> = ∫v² f(v) dv

其中，f(v) 表示速率分布函数。根据麦克斯韦速率分布函数，一气体系统的速率分布函数可以表示为：

f(v) = 4π (m/(2πkT))^(3/2) v² exp(-mv²/(2kT))

其中，m是单个分子的质量，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。

将速率分布函数代入速率平方的平均值的公式中，得到：

<v²> = ∫v^4 4π (m/(2πkT))^(3/2) v² exp(-mv²/(2kT)) dv

这个积分可以通过换元法来求解。令u = mv²/(2kT)，则有：

du/dv = (mv)/(kT)

将 u 和 du/dv 代入上述积分式中，得到：

<v²> = (2kT/m) ∫u^2 exp(-u) du

这个积分可以通过部分积分法来求解。令：

f(u) = u^2，g'(u) = exp(-u)

根据部分积分法，有：

∫f(u) g'(u) du = f(u) g(u) - ∫f'(u) g(u) du

其中，f'(u) = 2u，g(u) = -exp(-u)。代入上式，得到：

<v²> = (2kT/m) [ -u^2 exp(-u) - 2u exp(-u) - 2 exp(-u) ] + C

其中，C是积分常数。将 u = mv²/(2kT) 代入上式，并做一些简单的代数化简，得到：

<v²> = 3kT/m

因此，一气体系统中速率平方的平均值为 3kT/m。