分支限界法实现最优装载c++_经典问题-回溯法-装载问题

最优装载问题是指在给定的若干个重量和体积都为正数的货物中，选出若干个装入一个载重量为C的货车，使得装入的货物总价值最大。这是一个经典的背包问题，可以使用分支限界法来解决。

具体思路如下：

1. 定义节点：每个节点代表一个状态，表示已经选取了一些物品，还有一些物品未选取，以及当前背包的剩余容量。

2. 对于每个节点，计算上界：假设当前节点已选取的物品的总价值为V，剩余物品中的最大价值为V'，则当前节点的上界为V+V'。

3. 通过优先队列（按照上界从大到小排序）来选择下一个扩展的节点。由于上界从大到小排序，因此优先队列的队首元素一定是最优的扩展节点。

4. 对于每个扩展的节点，考虑两种情况：选取当前节点对应的物品或不选取。如果选取，物品体积和重量减少，价值增加；如果不选取，只有体积和重量减少。

5. 根据剩余容量和剩余物品数量来判断是否需要继续扩展该节点。如果剩余容量小于0或者所有物品都已经选取，则不需要扩展该节点。

6. 如果找到了一个叶子节点，更新最优解。

下面是最优装载问题的C++代码实现：

相关问题

装载问题分支限界法c++

装载问题分支限界法（Branch and Bound）是一种用于求解组合优化问题的算法，特别适用于那些具有大量可能解和部分有序结构的搜索空间。在C++中实现装载问题分支限界法，比如旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）或车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP），通常会涉及以下步骤：

1. **定义问题**：明确装载物品的限制（如车辆容量、重量、体积等）、物品的起始位置以及目标是找到最短路径或最小成本。

2. **状态表示**：使用数组、vector或类似数据结构来表示当前装载状态，记录每个位置的装载情况。

3. **搜索树结构**：创建一个搜索树，根节点代表初始状态，子节点由可能的选择（比如选择一个未装载的物品或改变一个已装载物品的位置）产生。

4. **分支策略**：从每个节点生成一组可行的子节点，通常通过枚举可能的动作来实现。

5. **评估函数**：为每个节点计算一个估价函数，这个函数估计当前状态到最优解的代价，常见的有启发式函数（如欧几里得距离的总和）。

6. **剪枝策略**：利用上界（upper bound）和下界（lower bound）比较，如果发现某个分支不可能优于当前最优解，就提前结束搜索，避免无效探索。

7. **递归调用**：对每个子节点递归地应用分支限界法，直到达到叶子节点或达到预定的停止条件。

8. **回溯**：当找到最优解时，回溯搜索树以获取完整的解决方案路径。

给出下面回答的C++代码2、求上面回溯法求解装载问题的计算时间复杂度？有什么方法可以继续改进算法的时间复 杂度？ 由于bestx可能被更新O(2 n )次，因此该算法的时间复杂度是O(n 2 n )。 改进策略可以有下面两种，均可将算法的时间复杂度降为O(2 n )： （1） 首先运行只计算最优值的算法，计算出最优装载量W，所耗时间O(2n )。然后 再将算法Trace中的bestw置为W后运行，这样在首次到达的叶节点处（即首次 i>n时）终止算法，返回的bestx即为最优解。 （2） 另一种策略是在算法中动态的更新bestx。在第i层的当前结点处，当前最优解 由x[j]，1≤j<i和best[j]，i≤j≤n所组成。每当算法回溯一层时，将x[i]存入 bestx[i]。

以下是C++代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;

const int maxn = 30;

int n, W, w[maxn], c[maxn], ans = 0; // ans记录最大价值
bool bestx[maxn], x[maxn]; // x记录当前解，bestx记录最优解
int cw = 0, cc = 0; // cw记录当前重量，cc记录当前价值

void dfs(int i) {
    if(i > n) { // 到达叶节点
        if(cc > ans) { // 更新最优解
            ans = cc;
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                bestx[j] = x[j];
        }
        return;
    }
    if(cw + w[i] <= W) { // 左子树
        x[i] = true;
        cw += w[i];
        cc += c[i];
        dfs(i + 1);
        cw -= w[i];
        cc -= c[i];
    }
    if(bound(i + 1) > ans) { // 右子树
        x[i] = false;
        dfs(i + 1);
    }
}

int bound(int i) { // 计算上界
    int leftw = W - cw; // 剩余空间
    int b = cc;
    while(i <= n && w[i] <= leftw) { // 能装满则装满
        leftw -= w[i];
        b += c[i];
        i++;
    }
    if(i <= n) b += c[i] * leftw / w[i]; // 不能装满则装部分
    return b;
}

int main() {
    cin >> n >> W;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> w[i] >> c[i];
    dfs(1);
    cout << ans << endl;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cout << bestx[i] << " ";
    cout << endl;
    return 0;
}

算法的时间复杂度是O(2^n)。

可以尝试以下几种方法改进算法的时间复杂度：

1. 剪枝优化：在搜索过程中，可以使用一些剪枝策略，如可行性剪枝、最优性剪枝等，减少搜索空间，提高算法效率；
2. 启发式搜索：对于大规模问题，可以使用启发式搜索算法，如遗传算法、模拟退火算法等，从局部最优解出发，寻求更好的解决方案；
3. 分支限界法：与回溯法类似，但是在搜索过程中，会根据当前解的上下界来选择下一个搜索节点，减少无效搜索。