如何理解解析函数的惟一性定理?

解析函数的惟一性定理是指，如果两个解析函数在某个区域内处处相等，那么它们就是同一个函数。具体来说，设 $D$ 是一个区域，$f(z)$ 和 $g(z)$ 是 $D$ 上的两个解析函数，如果 $f(z) = g(z)$ 在 $D$ 内成立，那么 $f(z)$ 和 $g(z)$ 在 $D$ 内是完全相同的函数。

解析函数的惟一性定理是解析函数理论中的一个基本定理，它保证了解析函数的唯一性。这个定理的证明可以利用解析函数的另一个基本性质：解析函数的零点是孤立的。具体地，假设 $f(z)$ 在 $D$ 内的一个点集上等于 $0$，那么它在这个点集的邻域内都等于 $0$。如果 $f(z)$ 和 $g(z)$ 在某个区域内处处相等，那么它们的零点集合相同。由于解析函数的零点是孤立的，因此 $f(z)$ 和 $g(z)$ 的零点集合不可能有交集，因此 $f(z)$ 和 $g(z)$ 在整个区域内都相等。

总之，解析函数的惟一性定理保证了解析函数的唯一性，这对于解析函数的研究和应用都具有重要意义。

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