最优子结构性质一般如何证明,请证明0-1背包问题具有最优子结构性质
时间: 2023-10-22 08:02:02 浏览: 77
证明一个问题是否具有最优子结构性质,一般需要使用归纳法或反证法。
对于0-1背包问题,我们可以采用归纳法证明其具有最优子结构性质。
假设我们已经求出了一个容量为j的背包,能够容纳最大价值的物品组合,记为V[j]。现在我们考虑将容量为j的背包分成两个子问题:
1.不放第i个物品,容量为j的背包能够容纳的最大价值为V[i-1][j];
2.放第i个物品,容量为j的背包能够容纳的最大价值为V[i-1][j-w[i]] + v[i]。
因此,容量为j的背包能够容纳的最大价值为这两种情况中的较大值:
V[i][j] = max{V[i-1][j], V[i-1][j-w[i]] + v[i]}
由此可见,容量为j的背包能够容纳的最大价值可以通过子问题的最优解来构造,因此0-1背包问题具有最优子结构性质。
证毕。
相关问题
动态规划0-1背包问题的逻辑结构
动态规划是一种解决最优化问题的算法思想,适用于一些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。0-1背包问题就是一种经典的动态规划问题。
0-1背包问题描述:给定一个容量为V的背包和一组物品,每种物品都有一个重量w和一个价值v。要求在不超过背包容量的前提下,选择一些物品装入背包,使得背包中物品的总价值最大。
该问题的逻辑结构如下:
1. 定义状态:设dp[i][j]表示将前i个物品装入容量为j的背包中所获得的最大价值。其中i表示前i个物品,j表示背包容量。
2. 定义状态转移方程:对于每个物品i,有两种情况:
- 不放入第i个物品,则dp[i][j] = dp[i-1][j];
- 放入第i个物品,则dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]。
将上述两种情况中的最大值作为dp[i][j]的值即可。
3. 初始化:dp[0][j] = 0,dp[i][0] = 0。
4. 最终答案:dp[n][V],其中n为物品个数,V为背包容量。
1.0-1背包问题最优子结构性质 2.0-1背包问题求解最优值递归式 3.实例:n=4,c=10, w={2,6,5,4}, v={3,5,4,6} 写出m表格,最优值,最优解
好的,让我来回答你的问题。
1. 0-1背包问题的最优子结构性质是指,将一个规模为n的问题分解为规模为n-1的子问题,每个子问题的最优解可以用前面子问题的最优解来推导出来。
2. 0-1背包问题求解最优值的递归式为:f(i,j) = max{f(i-1,j), f(i-1,j-w[i])+v[i]},其中i表示第i个物品,j表示背包的容量,w[i]表示第i个物品的重量,v[i]表示第i个物品的价值。
3. 对于实例n=4,c=10,w={2,6,5,4},v={3,5,4,6},我们可以按照以下步骤构建m表格:
- 构建一个大小为(n+1) x (c+1)的二维数组m,初始化所有元素为0。
- 从第1行开始,依次填充每一行的元素。对于第i行,我们遍历列j从0到c,计算m[i][j]的值。
具体的计算方法如下:
- 如果j < w[i],则m[i][j] = m[i-1][j];
- 否则,m[i][j] = max{m[i-1][j], m[i-1][j-w[i]]+v[i]}。
最终得到的m表格如下:
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|----|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 2 | 0 | 0 | 3 | 3 | 3 | 3 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 3 | 0 | 0 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 | 5 | 7 | 7 | 7 |
| 4 | 0 | 0 | 3 | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 9 | 10 | 10 |
最优值为m[4][10]=10,最优解为选择第1个和第4个物品,总重量为6,总价值为10。