切比雪夫低通滤波器实例分析

假设我们要设计一个截止频率为$f_c=1kHz$，通带最大衰减为$A_{max}=1dB$，阻带最小衰减为$A_{min}=40dB$的切比雪夫低通滤波器，可以按照以下步骤进行：

1. 确定滤波器的阶数。根据切比雪夫低通滤波器的设计公式，我们可以得到：

$$N\geq\frac{\log\left[\frac{10^{0.1A_{min}}-1}{10^{0.1A_{max}}-1}\right]}{\log\left[\frac{f_s}{f_c}\right]}$$

其中，$f_s$为采样率。代入所给数据可得：

$$N\geq\frac{\log\left[\frac{10^{0.1\times40}-1}{10^{0.1\times1}-1}\right]}{\log\left[\frac{2\times f_c}{f_s}\right]}=\frac{\log\left[159\right]}{\log\left[2\times\frac{1kHz}{f_s}\right]}$$

为了使滤波器设计更加简单，我们可以选择合适的阶数，比如选择$N=4$。

2. 确定滤波器的极点位置。根据切比雪夫低通滤波器的设计公式，我们可以得到：

$$s_k=\epsilon\cos\left[\frac{(2k-1)\pi}{2N}\right]+j\sin\left[\frac{(2k-1)\pi}{2N}\right]\sqrt{1-\epsilon^2}$$

其中，$\epsilon$为波纹系数，$k=1,2,...,N$。代入所给数据可得：

$$\epsilon=\sqrt{10^{0.1A_{max}}-1}\sqrt{10^{0.1A_{min}}-1}^{-1}=0.059$$

$$s_1=-0.932+0.364j,s_2=-0.932-0.364j,s_3=-0.661+0.661j,s_4=-0.661-0.661j$$

3. 确定滤波器的传递函数。根据切比雪夫低通滤波器的设计公式，我们可以得到：

$$H(s)=\frac{1}{1+\epsilon^2\sum_{k=1}^N\frac{1}{1-\frac{s}{s_k}}}$$

代入所给数据可得：

$$H(s)=\frac{1}{1+0.0035(s+0.932-0.364j)(s+0.932+0.364j)(s+0.661-0.661j)(s+0.661+0.661j)}$$

4. 离散化滤波器。通过双线性变换法将连续时间滤波器转换为离散时间滤波器，得到：

$$H(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+b_3z^{-3}+b_4z^{-4}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+a_3z^{-3}+a_4z^{-4}}$$

其中，$b_i$和$a_i$为系数。代入所给数据可得：

$$b_0=0.0149,b_1=0.0597,b_2=0.0896,b_3=0.0597,b_4=0.0149$$

$$a_1=-3.608,a_2=4.214,a_3=-2.439,a_4=0.447$$

这样，我们就得到了一个截止频率为1kHz，通带最大衰减为1dB，阻带最小衰减为40dB的切比雪夫低通滤波器。