20 如何理解反向传播算法 BackPropagation，包括前馈神经网络和 RNN，LSTM。会利用矩阵算法推导和伪代码设计!

反向传播算法（BackPropagation）是一种常用的神经网络训练算法，通过计算损失函数对神经网络中每个参数的偏导数来更新参数，从而实现神经网络的训练。

前馈神经网络的反向传播算法可以简单地概括为以下几个步骤：

1. 前向传播：将输入数据送入神经网络，计算每一层的输出值。

2. 计算输出层的误差：将输出层的输出值与真实值做差，得到误差。

3. 反向传播：从输出层开始，将误差逐层向前传播，并计算每个参数的偏导数。

4. 更新参数：利用偏导数和学习率等参数，更新每个参数的权重和偏置。

RNN（循环神经网络）和LSTM（长短时记忆网络）的反向传播算法与前馈神经网络类似，但需要考虑时间序列上的依赖关系。具体来说，RNN和LSTM的反向传播算法包括以下几个步骤：

1. 前向传播：将时间序列数据送入神经网络，计算每个时间步的输出值。

2. 计算最后一个时间步的误差：将最后一个时间步的输出值与真实值做差，得到误差。

3. 反向传播：从最后一个时间步开始，将误差逐个时间步向前传播，并计算每个参数的偏导数。

4. 更新参数：利用偏导数和学习率等参数，更新每个参数的权重和偏置。

在实现反向传播算法时，通常会利用矩阵算法进行计算，以提高计算效率。伪代码设计如下：

# 前向传播
for i in range(num_layers):
    z[i+1] = w[i+1] @ a[i] + b[i+1]
    a[i+1] = activation(z[i+1])

# 计算误差
delta[num_layers] = loss_derivative(a[num_layers], y) * activation_derivative(z[num_layers])
for i in range(num_layers-1, 0, -1):
    delta[i] = (w[i+1].T @ delta[i+1]) * activation_derivative(z[i])

# 计算偏导数
for i in range(num_layers):
    dw[i+1] = delta[i+1] @ a[i].T
    db[i+1] = np.sum(delta[i+1], axis=1, keepdims=True)

# 更新参数
for i in range(num_layers):
    w[i+1] -= learning_rate * dw[i+1]
    b[i+1] -= learning_rate * db[i+1]

其中，`z[i]` 表示第 i 层的加权输入，`a[i]` 表示第 i 层的输出，`delta[i]` 表示第 i 层的误差，`dw[i]` 和 `db[i]` 分别表示第 i 层的权重和偏置的偏导数。`@` 表示矩阵乘法运算，`np.sum()` 表示求和运算。