建立以(2,-3,5)为顶点,(1,1,1)为轴,半顶角为π/6的直圆锥面方程
时间: 2023-05-28 09:01:45 浏览: 273
设直圆锥面的顶点为V(2,-3,5),轴为直线L:{(x,y,z)=(1,1,1)+t(1,1,1)},其中t为实数。
以L为坐标轴,我们可以将空间点(x,y,z)表示为L上的向量a加上L上的向量b,即(x,y,z)=(1,1,1)+t(1,1,1)+s(1,-1,0),其中t,s均为实数。
现在我们只需寻找合适的t和s,使得向量OV和向量OM的夹角为π/6,其中O是坐标系的原点,M是圆锥面上的一点。
向量OV即为V-O=(2,-3,5),向量OM即为(x,y,z)-O=(1-t-s,1-t+s,1+s)。
由内积公式,得到OM·OV=|OM|·|OV|·cos(π/6),带入上式并化简可得:
(1-t-s)×2+(1-t+s)×(-3)+(1+s)×5=3√3∣∣(1-t-s,1-t+s,1+s)∣∣
展开后可得:
-2t+4s+2√3=∣∣(1-t-s,1-t+s,1+s)∣∣
将右边的模长平方展开并整理,得到:
∣∣(1-t-s,1-t+s,1+s)∣∣^2=-2t+4s+23/3
另外还有一个条件,就是圆锥面的顶角为π/6,即圆锥面上任意一点与V的向量与圆锥面的法向量的夹角都小于π/6。
所以我们还需满足以下两个条件:
1. 圆锥面上任意一点与V的向量与L的方向向量的夹角小于π/6,即:
((1-t-s)-1,(1-t+s)-1,(1+s)-1)·(1,1,1)>|((1-t-s)-1,(1-t+s)-1,(1+s)-1)×(1,1,1)|·√3
展开可得:
8t-5s-7√3<0
2. 圆锥面上任意一点与V的向量与圆锥面的法向量的夹角小于π/6,即:
((1-t-s)-2,(1-t+s)+3,(1+s)-5)·(√2,-√2,0)>|((1-t-s)-2,(1-t+s)+3,(1+s)-5)×√2,-√2,0)|·√3
展开可得:
4t-4s-7√3<0
综上所述,这是一个带约束的优化问题,我们的目标是寻求符合以上三个条件的最小的t和s,然后将其代入(x,y,z)=(1,1,1)+t(1,1,1)+s(1,-1,0),即可得到圆锥面方程。
不过,这是一个比较繁琐的问题,需要通过数值方法逐步逼近最优解。如果需要一个精确的计算结果,建议采用数值计算软件,如MATLAB等。
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