概率论与数理统计中均匀分布如何求概率密度

在概率论与数理统计中，均匀分布的概率密度函数为：

$$
f(x)=\begin{cases}
\dfrac{1}{b-a}, &a\le x \le b \\
0, &\text{其他}
\end{cases}
$$

其中 $a$ 和 $b$ 分别为随机变量的最小值和最大值。

这个函数表示了随机变量 $X$ 取某一值的概率密度。在 $[a,b]$ 区间内，概率密度为常数 $\dfrac{1}{b-a}$，表示 $X$ 均匀地分布在该区间内。

需要注意的是，均匀分布的概率密度函数是一个离散的函数，而不是连续的曲线。因为在任意一个小区间内，概率密度都是常数，而不是变化的曲线。因此，均匀分布的概率密度函数也可以写成累积分布函数的导数形式：

$$
f(x)=\dfrac{d}{dx}F(x)=\begin{cases}
\dfrac{1}{b-a}, &a\le x \le b \\
0, &\text{其他}
\end{cases}
$$

其中 $F(x)$ 是均匀分布的累积分布函数，表示随机变量 $X$ 取值小于等于 $x$ 的概率。在 $[a,b]$ 区间内，累积分布函数为 $F(x)=\dfrac{x-a}{b-a}$，在 $(-\infty,a)$ 区间内为 $0$，在 $(b,\infty)$ 区间内为 $1$。