谈谈stratified sampling 数值积分方法

Stratified sampling 是一种数值积分方法，它通过将整个样本空间分成若干个层级，分别从每个层级中随机抽取样本进行估计，以降低估计误差和方差。在实际应用中，我们通常将样本空间分为若干个相同大小的层级，从每个层级中分别随机抽取一个或多个样本进行估计，这样可以大大提高估计的精度和可靠性。Stratified sampling 可以应用于估计各种数值积分，如 Monte Carlo 积分，快速傅里叶变换等。

相关问题

谈谈stratified sampling 蒙特卡洛数值积分方法，给我一个例子

Stratified sampling is a Monte Carlo numerical integration technique used to reduce variance in the estimation of the integral of a function. The basic idea is to divide the domain of integration into several non-overlapping subdomains, or strata, and then sample from each subdomain separately.

For example, suppose we want to estimate the integral of the function f(x) = x^2 over the interval [0,1]. We can divide the interval into two equal subintervals [0,0.5] and [0.5,1]. We then take a random sample of size n/2 from each subinterval, where n is the total sample size we want to use.

The estimator of the integral is then the average of the sample means of each subinterval, weighted by the size of each subinterval. That is,

∫[0,1] f(x) dx ≈ (0.5 ∫[0,0.5] f(x) dx + 0.5 ∫[0.5,1] f(x) dx)

≈ (0.5/n)Σf(xi) + (0.5/n)Σf(xi)

where xi denotes the ith sample from the corresponding subinterval.

Stratified sampling can reduce variance compared to simple random sampling if the function has large variations over the domain of integration. It ensures that each subinterval is represented in the sample, and thus reduces the risk of under-sampling regions of high variations.

用分层抽样法计算下列函数的在区间[0,1]上的定积分并与MC方法做比较 h(x)=[cos(50x)+sin(20x)]2

要使用分层抽样法计算函数h(x)=[cos(50x)+sin(20x)]^2在区间[0,1]上的定积分，并与蒙特卡洛(MC)方法进行比较，可以按照以下步骤进行操作：

首先，我们将区间[0,1]划分为n个子区间。每个子区间的长度为1/n。

然后，我们计算函数h(x)在每个子区间中的最大值，并将这些最大值作为每个子区间的权重。具体地，我们可以使用数值积分方法（如梯形法则或辛普森法则）来近似计算每个子区间的最大值。

接下来，我们在每个子区间中进行随机抽样，数量为n_i个样本，其中n_i是第i个子区间的权重。

对于每个抽样点，计算h(x)的值，并将所有抽样点的函数值相加。最后，将总和乘以区间宽度(1/n)和权重(n_i)，并将所有子区间的结果相加，即可得到定积分值的估计。

以下是使用Python代码实现分层抽样法计算定积分并与MC方法进行比较的示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数 h(x)
def h(x):
    return (np.cos(50*x) + np.sin(20*x))**2

# 定义分层抽样法计算定积分的函数
def stratified_sampling(n, num_samples):
    integral_estimate = 0

    for i in range(n):
        a = i / n
        b = (i + 1) / n

        # 计算子区间的最大值作为权重
        max_value = max(h(np.linspace(a, b, 1000)))
        weight = b - a

        # 在子区间进行随机抽样
        samples = np.random.uniform(a, b, num_samples)

        # 计算每个抽样点的函数值并累加
        integral_estimate += np.sum(h(samples))

    integral_estimate *= weight
    return integral_estimate

# 定义MC方法计算定积分的函数
def monte_carlo_integration(num_samples):
    samples = np.random.uniform(0, 1, num_samples)
    integral_estimate = np.sum(h(samples))
    integral_estimate /= num_samples
    integral_estimate *= 1  # 区间宽度

    return integral_estimate

# 设置参数
num_samples = 10000  # 每个子区间的抽样点数量
num_strata = 100  # 子区间的数量

# 使用分层抽样法计算定积分
integral_stratified = stratified_sampling(num_strata, num_samples)
print("分层抽样法估计的定积分值：", integral_stratified)

# 使用MC方法计算定积分
integral_mc = monte_carlo_integration(num_samples * num_strata)
print("MC方法估计的定积分值：", integral_mc)

在上述代码中，我们首先定义了函数h(x)=[cos(50x)+sin(20x)]^2。

然后，我们实现了`stratified_sampling`函数来计算分层抽样法的定积分估计值，以及`monte_carlo_integration`函数来计算MC方法的定积分估计值。

最后，我们设置了抽样点数量和子区间数量的参数，并调用这两个函数来计算定积分估计值。分层抽样法的估计值存储在`integral_stratified`变量中，MC方法的估计值存储在`integral_mc`变量中。

请注意，由于使用了随机数生成器，每次运行代码都会得到不同的结果。