通过横截面积分证明TM波与TE波横向磁场之间的正交性

首先，我们需要了解什么是横截面积分。横截面积分是指在一个平面上对某个量进行积分，这个平面与这个量的矢量垂直。在电磁学中，常常使用横截面积分来证明电磁波的性质。

现在，我们来证明TM波与TE波横向磁场之间的正交性。首先，我们需要了解什么是TM波和TE波。

TM波是指电磁波中电场垂直于传播方向，而磁场平行于传播方向的波。TE波是指电磁波中磁场垂直于传播方向，而电场平行于传播方向的波。

接下来，我们将证明TM波与TE波横向磁场之间的正交性。我们假设有一个平面波沿着z轴传播，电场为Ey，磁场为Hz。我们需要证明Ey和Hz在横截面上的积分为0。

首先，我们对Ey进行横截面积分。因为Ey垂直于z轴，所以我们选择一个与z轴平行的平面作为横截面。在这个平面上，Ey的大小是不变的，但是方向不同。因此，我们可以将横截面分成许多小面积dS，每个小面积的方向与Ey的方向相同。因为Ey是一个矢量，所以我们需要将每个小面积与Ey进行点积。点积的结果是一个标量，表示这个小面积在Ey方向上的投影。因此，Ey在横截面上的积分可以写成：

∫Ey·dS

其中，积分号表示对整个横截面积分，Ey·dS表示每个小面积与Ey的点积。

接下来，我们对Hz进行横截面积分。因为Hz平行于z轴，所以我们选择一个与z轴垂直的平面作为横截面。在这个平面上，Hz的大小是不变的，但是方向不同。因此，我们可以将横截面分成许多小面积dS，每个小面积的方向与Hz的方向相同。因为Hz是一个矢量，所以我们需要将每个小面积与Hz进行点积。点积的结果是一个标量，表示这个小面积在Hz方向上的投影。因此，Hz在横截面上的积分可以写成：

∫Hz·dS

其中，积分号表示对整个横截面积分，Hz·dS表示每个小面积与Hz的点积。

现在，我们需要证明Ey和Hz在横截面上的积分为0。首先，我们注意到Ey和Hz的方向垂直。因此，如果我们将横截面旋转90度，Ey和Hz的方向会交换。因此，Ey在一个与Hz垂直的横截面上的积分应该为0，Hz在一个与Ey垂直的横截面上的积分也应该为0。因为Ey和Hz的方向可以在空间中任意旋转，所以我们可以通过对横截面的旋转来证明Ey和Hz在任意横截面上的积分都为0。

因此，我们可以得出结论，TM波与TE波横向磁场之间是正交的。