某学校进行一次学生考试作弊情况的随机变化调查。一套卡片共20张,15张上写有"你在考试中曾作弊了吗?” 5张上写有“你参加过校园马拉松吗?",每人随机抽取一张卡片, 据卡片上的问题回答"是"或"否",在参加调查的100名学生中,回答"是"有30人,回答"否"有70人,假设每人都真实回答,则学生中曾考试作弊的比例的矩估计是多少?(全校约有三分之一的学生参加过校园马拉松)
时间: 2023-07-19 11:19:16 浏览: 94
这是一个伯努利分布的问题,假设$p$为学生中曾考试作弊的比例,则每张卡片上回答"是"的概率为$p\times\frac{15}{20}+(1-p)\times\frac{5}{20}$,回答"否"的概率为$1-p\times\frac{15}{20}-(1-p)\times\frac{5}{20}$。
现在有30人回答了"是",70人回答了"否",我们可以用极大似然法求$p$的矩估计。设$X$为回答"是"的学生数,则$X$服从二项分布$B(100,p\times\frac{15}{20}+(1-p)\times\frac{5}{20})$。似然函数为:
$$
L(p)=\binom{100}{30}(p\times\frac{15}{20}+(1-p)\times\frac{5}{20})^{30}(1-p\times\frac{15}{20}-(1-p)\times\frac{5}{20})^{70}
$$
取对数化简得:
$$
\ln L(p)=30\ln(p\times\frac{3}{4}+(1-p)\times\frac{1}{4})+70\ln(1-p\times\frac{3}{4}-(1-p)\times\frac{1}{4})+C
$$
其中$C$为与$p$无关的常数。对$\ln L(p)$关于$p$求导,令导数等于0,解得$p$的矩估计为:
$$
\hat{p}=\frac{0.6}{0.6+0.1\times\frac{1}{3}}\approx 0.774
$$
其中$0.6$为回答"是"的学生中回答"你在考试中曾作弊了吗?"的比例,$\frac{1}{3}$为全校学生中参加过校园马拉松的比例。因此,学生中曾考试作弊的比例的矩估计为约为0.774。
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