共轭梯度法使用FFT优化，Matlab实现

共轭梯度法可以使用FFT来进行优化，加速求解过程。以下是MATLAB代码示例：

% 定义线性方程组系数矩阵A和右侧向量b
A = [4,-1,1;-1,4.25,2.75;1,2.75,3.5];
b = [1;2;3];

% 定义初始点x0和迭代次数k
x0 = [0;0;0];
k = 3;

% 定义DFT矩阵F
n = length(A);
F = fft(eye(n));

% 初始化
r0 = b-A*x0;
p0 = r0;
x = x0;

% 共轭梯度法使用FFT优化迭代求解
for i = 1:k
    Ap = A*p0;
    alpha = (r0'*r0)/(p0'*Ap);
    x = x + alpha*p0;
    r1 = r0 - alpha*Ap;
    
    % 使用FFT进行优化
    s1 = ifft(F.*fft(p0));
    t1 = s1 - p0;
    s2 = ifft(F.*fft(r1));
    t2 = s2 - r1;
    
    beta = (s2'*t2)/(s1'*t2);
    p0 = s2 + beta*p0;
    r0 = r1;
end

% 输出结果
disp(x);

其中，变量F表示DFT矩阵，变量r和p表示共轭梯度法中的残差向量和搜索方向向量，变量alpha和beta表示共轭梯度法中的步长。在每次迭代中，使用FFT计算搜索方向向量和残差向量的正交补空间，并更新搜索方向向量。