计算曲面积分 ∫ ∫F.dS其中F=yj-zk有向曲面 S=S_1+S_2 取正方向,曲面S2为y=1面上的闭圆 盘 x^2+z^2≤1 ,曲面 S_1:y=x^2+z^2 , 0≤y≤1 , A 0 B2pi C一pi Dpi

首先，我们需要计算曲面 $S_1$ 的法向量 $\mathbf{n}$. 由于 $S_1$ 是一个旋转曲面，我们可以使用旋转曲面的法向量公式:

$$\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}}\begin{pmatrix}-\frac{\partial z}{\partial x} \\ 1 \\ -\frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}$$

在这个问题中，我们有 $z = y - x^2 - z^2$，因此 $\frac{\partial z}{\partial x} = -2x$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 1$. 将这些代入上面的公式得到:

$$\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + 4x^2 + 1}}\begin{pmatrix}2x \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{4x^2 + 2}}\begin{pmatrix}2x \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$$

接下来，我们需要计算曲面 $S_2$ 的法向量 $\mathbf{n}_2$. 由于 $S_2$ 是一个平面，它的法向量是常数向量 $\mathbf{n}_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$.

现在，我们可以分别计算曲面积分 $\iint_{S_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} dS$ 和 $\iint_{S_2} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_2 dS$：

$$\iint_{S_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} dS = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (y, -z, y-x^2-z^2) \cdot \frac{1}{\sqrt{4x^2+2}}(2x, 1, 0) dx dy$$

$$= \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{y}{\sqrt{4x^2+2}} dx dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{y}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{x^2+1/2}} dx dy$$

这个积分需要使用换元法，令 $u = x^2 + \frac{1}{2}$，则 $du = 2x dx$，于是:

$$\iint_{S_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} dS = \int_0^{2\pi} \int_{1/2}^{3/2} \frac{y}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du dy = \int_0^{2\pi} \sqrt{2} (\sqrt{3} -1) dy = 2\pi \sqrt{2} (\sqrt{3} - 1)$$

对于曲面 $S_2$，我们有 $y = 1$，因此,

$$\iint_{S_2} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_2 dS = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (y, -z, y-x^2-z^2) \cdot (0, 1, 0) dx dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (1-x^2) dx dy = \frac{2\pi}{3}$$

因此，总的曲面积分为:

$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_{S_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} dS + \iint_{S_2} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_2 dS = 2\pi \sqrt{2} (\sqrt{3} - 1) + \frac{2\pi}{3} = \pi(\frac{4\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2} - 1)$$

因此，选项为 A. $0$，B. $2\pi$，C. $\pi$，D. $\pi/2$ 的答案都不正确。