己知正四棱台的上底边长为1，下底边长为2，侧棱 长为根号2，则其体积为

首先，正四棱台的体积公式为 $(1/3) \times h \times (A + \sqrt{AB} + B)$，其中 $A$ 和 $B$ 分别表示上底和下底的面积，$h$ 表示正四棱台的高。

根据题目所给条件，上底边长为1，下底边长为2，侧棱长为 $\sqrt{2}$，可以计算出上底和下底的面积：

$A = 1 \times 1 = 1$
$B = 2 \times 2 = 4$

接下来需要计算正四棱台的高。根据勾股定理，正四棱台的高可以表示为 $\sqrt{h^2+(\sqrt{2}/2)^2}$，其中 $\sqrt{2}/2$ 表示侧棱中心到底面中心的距离，也就是正方形内切圆的半径。

将上述数据代入公式，得到：

$V = (1/3) \times \sqrt{h^2+(\sqrt{2}/2)^2} \times (1 + \sqrt{2} + 2)$

化简后得到：

$V = (1/3) \times \sqrt{h^2+(\sqrt{2}/2)^2} \times 3\sqrt{2}$

将已知条件代入，解得正四棱台的体积为：

$V = \frac{2}{3}\sqrt{2}$