为什么对于高压直流线路差动保护，故障电阻会导致差动电流减小，请用公式详细分析

高压直流线路差动保护是通过比较线路两端电流的差值来判断是否存在故障。假设该线路有 $n$ 个相同的分段，第 $i$ 段的电流为 $I_i$，则该线路两端电流的差值为：

$$
\Delta I = I_1 - I_n
$$

当线路不存在故障时，两端电流应该相等，即 $\Delta I = 0$。但是当线路中存在故障时，故障电阻会导致部分电流绕过故障点，使得两端电流不相等，即 $\Delta I \neq 0$。

假设故障电阻为 $R_f$，则故障点处的电流为：

$$
I_f = \frac{V}{R_f+R_1+R_2+...+R_n}
$$

其中，$V$ 为线路电压，$R_1$~$R_n$ 分别为线路各个分段的电阻。由于故障电阻的存在，故障点处电流分成了两部分：通过故障电阻的电流 $I_{fR}$ 和绕过故障点的电流 $I_{fL}$，即：

$$
I_f = I_{fR} + I_{fL}
$$

其中，$I_{fR}$ 和 $I_{fL}$ 的计算公式分别为：

$$
I_{fR} = \frac{V}{R_f+R_1} \\
I_{fL} = \frac{V}{R_2+R_3+...+R_{n-1}}
$$

对于差动保护来说，电流的差值为：

$$
\Delta I = I_1 - I_n = (I_{1R} + I_{1L}) - (I_{nR} + I_{nL})
$$

其中，$I_{1R}$ 和 $I_{nR}$ 分别为两端电流中通过故障电阻的电流，$I_{1L}$ 和 $I_{nL}$ 分别为通过线路其它部分的电流。

由于故障点处的电流 $I_f$ 分成了 $I_{fR}$ 和 $I_{fL}$ 两部分，$I_{1R}$ 和 $I_{nR}$ 的计算公式中都包含了 $R_f$，而 $I_{1L}$ 和 $I_{nL}$ 的计算公式中都不包含 $R_f$，因此故障电阻的存在会使得 $I_{1R}$ 和 $I_{nR}$ 减小，从而使得 $\Delta I$ 减小。具体来说，$\Delta I$ 的计算公式为：

$$
\begin{aligned}
\Delta I &= I_{1R} + I_{1L} - (I_{nR} + I_{nL}) \\
&= \frac{V}{R_f+R_1} + \frac{V}{R_2+R_3+...+R_{n-1}} - \frac{V}{R_f+R_n} \\
&= V \cdot \left(\frac{1}{R_f+R_1} + \frac{1}{R_2+R_3+...+R_{n-1}} - \frac{1}{R_f+R_n}\right)
\end{aligned}
$$

由此可见，故障电阻的存在会使得 $\Delta I$ 减小，从而可能导致差动保护误动作。因此，在高压直流线路的差动保护中，需要对故障电阻进行合理的设置或者采用其他的保护方式来避免误动作的发生。