建立一个差速移动机器人的数学模型

一个差速移动机器人的数学模型可以用如下的非线性微分方程组表示：

$$
\begin{cases}
\dot{x} = \frac{r}{2}(\dot{\theta}_r + \dot{\theta}_l)\cos(\theta)\\
\dot{y} = \frac{r}{2}(\dot{\theta}_r + \dot{\theta}_l)\sin(\theta)\\
\dot{\theta} = \frac{r}{L}(\dot{\theta}_r - \dot{\theta}_l)
\end{cases}
$$

其中，$x$ 和 $y$ 分别表示机器人的位置坐标，$\theta$ 表示机器人的朝向角度，$r$ 表示轮子的半径，$L$ 表示轮距，$\dot{\theta}_r$ 和 $\dot{\theta}_l$ 分别表示右轮和左轮的转速。

该模型假设机器人的速度和方向都是由两个轮子的转速决定的，同时假设机器人的运动是平面上的运动，忽略了机器人的运动在竖直方向上的影响。

我们可以将上述微分方程组进行线性化处理，得到如下的状态空间模型：

$$
\begin{cases}
\dot{x} = v\cos(\theta)\\
\dot{y} = v\sin(\theta)\\
\dot{\theta} = \frac{v}{L}(r_l - r_r)
\end{cases}
$$

其中，$v = \frac{r}{2}(\dot{\theta}_r + \dot{\theta}_l)$ 表示机器人的线速度，$r_l$ 和 $r_r$ 分别表示左右轮的转速。

这个模型可以用于控制系统的设计和运动规划。