givens变换求QR分解例子
时间: 2023-09-14 09:05:22 浏览: 71
### 回答1:
给定矩阵A,求QR分解的例子可以是:A=QR,其中Q为正交矩阵,R为上三角矩阵。一种方法是使用Givens变换,具体步骤为:1)将A的第一列分解为一个单位向量v和一个标量r;2)构造Givens变换矩阵G,用它将A的第一列变换为rv;3)将变换后的矩阵乘以G^T,得到QR分解的结果。
### 回答2:
Givens变换是一种用于求解QR分解的方法,它可以将一个矩阵变换为上三角矩阵。下面以一个例子来说明Givens变换求解QR分解的步骤:
假设有一个矩阵A:
A = [[2, 4, 1],
[1, 5, 3],
[3, 2, 6]]
第一步,选取第1列和第2列中的元素a和b,使得a不等于0。假设选取的元素为a=2和b=1。
第二步,计算Givens变换矩阵G:
G = [[c, -s, 0],
[s, c, 0],
[0, 0, 1]]
其中c和s分别是cosθ和sinθ,θ是通过下式计算的:θ = atan(b/a)。
在本例中,θ = atan(1/2) ≈ 0.4637,因此c ≈ 0.8776,s ≈ 0.4794。
第三步,计算Givens变换矩阵G与矩阵A的乘积,得到新的矩阵B:
B = GA = [[2, 4, 1],
[0, 4.90, 2.71],
[3, 2, 6]]
第四步,将Givens变换矩阵G左乘矩阵A,得到新的矩阵C:
C = GB ≈ [[2.309, 4.618, 1.154],
[0, 4.900, 2.714],
[0, 0, 4.149]]
重复以上步骤,对新的矩阵C继续进行Givens变换,最终得到一个上三角矩阵R。
因此,通过不断进行Givens变换,可以将原始矩阵A分解为QR,其中Q为由所有的Givens变换矩阵组成的正交矩阵,R为上三角矩阵。
这就是使用Givens变换求解QR分解的例子。