利用符号函数 fourier 求教材 P88 双边指数信号 e 当 a=3 时的傅里叶变换表 达式。

双边指数信号 $e^{at}$ 当 $a=3$ 时可以表示为：

$$f(t) = e^{3t}$$

它的傅里叶变换表达式为：

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega t} e^{3t} dt$$

这个积分可以通过符号函数求解。首先，我们将积分区间分成两部分：

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{-j\omega t} e^{3t} dt + \int_{0}^{\infty} e^{-j\omega t} e^{3t} dt$$

对于第一部分，令 $u=-t$，则 $du=-dt$，积分上限从 $0$ 变为 $-\infty$：

$$\int_{-\infty}^{0} e^{-j\omega t} e^{3t} dt = \int_{\infty}^{0} e^{j\omega u} e^{-3u} du = -\int_{0}^{\infty} e^{-(3-j\omega)u} du$$

对于第二部分，直接应用符号函数公式：

$$\int_{0}^{\infty} e^{-j\omega t} e^{3t} dt = \frac{1}{j\omega-3}$$

将两部分的结果相加：

$$F(\omega) = -\int_{0}^{\infty} e^{-(3-j\omega)u} du + \frac{1}{j\omega-3}$$

化简可得：

$$F(\omega) = \frac{1}{3-j\omega} - \frac{1}{j\omega-3} = \frac{-6j\omega}{\omega^2+9}$$

因此，双边指数信号 $e^{3t}$ 当 $a=3$ 时的傅里叶变换表达式为：

$$F(\omega) = \frac{-6j\omega}{\omega^2+9}$$