图论与网络优化问题案例

1. 最小生成树问题：给定一个无向连通图，求其生成树中所有边的权值之和最小的生成树。该问题可用Prim算法和Kruskal算法求解。

2. 最短路径问题：给定一个有权有向图和两个节点，求从起点到终点的最短路径。该问题可用Dijkstra算法和Bellman-Ford算法求解。

3. 网络最大流问题：给定一个有向图，其中每条边都有一个容量值，同时存在一个源点和一个汇点，求从源点到汇点的最大流量。该问题可用Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法求解。

4. 二分图匹配问题：给定一个二分图，其中左边节点和右边节点分别为集合L和集合R，求从L到R的最大匹配数。该问题可用匈牙利算法和网络流算法求解。

5. 最小割问题：给定一个有向图和两个节点，将图分成两个部分，使该两个节点在不同的部分中，且割的权值最小。该问题可用最大流最小割定理求解。

6. 需求最小路径覆盖问题：给定一个有向无环图，找到一些路径，覆盖所有节点，且要求路径数最少。该问题可用拓扑排序和网络流求解。

7. 贪心算法：给定一个无向图和节点权值，将其分成若干个联通子图，使每个子图的边权之和最小。该问题可用Kruskal算法求解。

8. 最小直径生成树问题：给定一个无向图，求其直径最小生成树，即边数最少的生成树，使得树的最远节点距离最近。该问题可用Prim算法和分治算法求解。

9. 最优路径问题：给定一个无向图和节点关键值，从一个起点开始，经过若干关键点，最终到达目的地，使得路径上的节点关键值之和最小。该问题可用动态规划求解。

10. 路径选择问题：给定一个有权有向图和两个节点，找到一条路径，使得路径上不存在与该路径权值和相同的另一条路径。该问题可用哈希表和树状数组求解。