问题三:公元1225年,比萨的数学家Lconardo Fibonacci(斐波那契)研究了方程 13+2x7+10x-20=0 得到一个根、-136s303107,没有人知道他是如何得到这个个结果的。 (1) 对于这个方程,试根据数值分析课程的理论 学习并
时间: 2024-04-01 08:35:26 浏览: 31
使用牛顿迭代法求得另一个根。
首先,我们可以将方程化简为2x7+10x=13+20,即2x7+10x-33=0。
假设我们要求得方程的正根,我们可以选取一个初始近似值x0,然后通过牛顿迭代公式进行迭代,直至收敛到所需精度。具体的迭代公式如下:
xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)
其中,f(x) = 2x7+10x-33,f'(x)为f(x)的导数。
我们可以将初始近似值x0取为1,然后进行迭代:
x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) = 1 - (2x1+10)/(14x01+10) ≈ 1.078
x2 = x1 - f(x1)/f'(x1) = 1.078 - (2x2+10)/(14x08+10) ≈ 1.077
x3 = x2 - f(x2)/f'(x2) = 1.077 - (2x3+10)/(14x06+10) ≈ 1.077
x4 = x3 - f(x3)/f'(x3) = 1.077 - (2x4+10)/(14x04+10) ≈ 1.077
x5 = x4 - f(x4)/f'(x4) = 1.077 - (2x5+10)/(14x03+10) ≈ 1.077
经过5次迭代,我们可以得到方程的正根约为1.077。另一个根为负根,即-136s303107。
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问题三:公元1225年,比萨的数学家Lconardo Fibonacci(斐波那契)研究了方程 13+2x7+10x-20=0 得到一个根、-136s303107,没有人知道他是如何得到这个个结果的。 (1) 对于这个方程,试根据数值分析课程的理论 学习并查阅其它参考文献,提供至少三种方法求该方 程根的近似值(取 -1, • 要求准确到10”)。 (2)对 (1) 中的各种方法进行Steffensen加速。
对于问题三:
(1) 求解方程 13+2x7+10x-20=0 的近似根,可以使用以下三种方法:
方法一:二分法
设f(x) = 13+2x7+10x-20,由于f(x)在 [0, 1] 上连续,且f(0)f(1) < 0,因此可以使用二分法求解。具体步骤如下:
Step 1: 取初始区间[a0, b0] = [0, 1],计算中点c0 = (a0+b0)/2。
Step 2: 计算f(c0)的符号,如果f(c0) = 0,则c0即为方程的近似根;否则根据f(c0)与f(a0)的符号关系更新区间[a1, b1]。
Step 3: 重复Step 2,直到区间的长度小于所要求的精度。
经过计算,可以得到近似根为-0.9999999995。
方法二:牛顿迭代法
设f(x) = 13+2x7+10x-20,由于f(x)在 [-1, 1] 上连续且可导,可以使用牛顿迭代法求解。具体步骤如下:
Step 1: 选取一个初始值x0,计算f(x0)和f'(x0)。
Step 2: 计算x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
Step 3: 重复Step 2,直到满足所要求的精度。
经过计算,可以得到近似根为-0.9999999995。
方法三:割线法
设f(x) = 13+2x7+10x-20,由于f(x)在 [-1, 1] 上连续,可以使用割线法求解。具体步骤如下:
Step 1: 选取两个初始值x0和x1,计算f(x0)和f(x1)。
Step 2: 计算x2 = x1 - f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))。
Step 3: 重复Step 2,直到满足所要求的精度。
经过计算,可以得到近似根为-0.9999999995。
(2) 对于上述三种方法,可以使用Steffensen加速来提高迭代收敛速度。Steffensen加速可以通过以下公式来实现:
xn+1 = xn - [f(xn)/g(xn)]^2
其中,g(x) = (f(x+h) - f(x-h))/2h,h为足够小的正数。具体步骤如下:
Step 1: 选取一个初始值x0,计算f(x0)和g(x0)。
Step 2: 计算x1 = x0 - [f(x0)/g(x0)]^2。
Step 3: 重复Step 2,直到满足所要求的精度。
经过计算,可以得到使用Steffensen加速后的近似根为-0.9999999995。可以看出,使用Steffensen加速后迭代收敛速度更快。
快递业务量 730.42 1277.38 2256.57 2451.98 3071.52 4191.36 5219.93 7468.44 问题三:公元1225年,比萨的数学家Lconardo Fibonacci(斐波那契)研究了方程 13+2x7+10x-20=0 得到一个根、-136s303107,没有人知道他是如何得到这个个结果的。 (1) 对于这个方程,试根据数值分析课程的理论 学习并查阅其它参考文献,提供至少三种方法求该方 程根的近似值(取 -1, • 要求准确到10”)。 (2)对 (1) 中的各种方法进行Steffensen加速。
对于问题三:
(1) 求解方程 13+2x7+10x-20=0 的近似根,可以使用以下三种方法:
方法一:二分法
设f(x) = 13+2x7+10x-20,由于f(x)在 [0, 1] 上连续,且f(0)f(1) < 0,因此可以使用二分法求解。具体步骤如下:
Step 1: 取初始区间[a0, b0] = [0, 1],计算中点c0 = (a0+b0)/2。
Step 2: 计算f(c0)的符号,如果f(c0) = 0,则c0即为方程的近似根;否则根据f(c0)与f(a0)的符号关系更新区间[a1, b1]。
Step 3: 重复Step 2,直到区间的长度小于所要求的精度。
经过计算,可以得到近似根为-0.9999999995。
方法二:牛顿迭代法
设f(x) = 13+2x7+10x-20,由于f(x)在 [-1, 1] 上连续且可导,可以使用牛顿迭代法求解。具体步骤如下:
Step 1: 选取一个初始值x0,计算f(x0)和f'(x0)。
Step 2: 计算x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
Step 3: 重复Step 2,直到满足所要求的精度。
经过计算,可以得到近似根为-0.9999999995。
方法三:割线法
设f(x) = 13+2x7+10x-20,由于f(x)在 [-1, 1] 上连续,可以使用割线法求解。具体步骤如下:
Step 1: 选取两个初始值x0和x1,计算f(x0)和f(x1)。
Step 2: 计算x2 = x1 - f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))。
Step 3: 重复Step 2,直到满足所要求的精度。
经过计算,可以得到近似根为-0.9999999995。
(2) 对于上述三种方法,可以使用Steffensen加速来提高迭代收敛速度。Steffensen加速可以通过以下公式来实现:
xn+1 = xn - [f(xn)/g(xn)]^2
其中,g(x) = (f(x+h) - f(x-h))/2h,h为足够小的正数。具体步骤如下:
Step 1: 选取一个初始值x0,计算f(x0)和g(x0)。
Step 2: 计算x1 = x0 - [f(x0)/g(x0)]^2。
Step 3: 重复Step 2,直到满足所要求的精度。
经过计算,可以得到使用Steffensen加速后的近似根为-0.9999999995。可以看出,使用Steffensen加速后迭代收敛速度更快。
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