A是4×3的矩阵并且A的秩为2,B矩阵可逆为什么A×B矩阵的秩是2
时间: 2024-06-02 22:13:04 浏览: 10
根据矩阵秩的性质,$rank(AB) \leq \min(rank(A), rank(B))$。因为A的秩为2,所以$rank(A) = 2$。因为B可逆,所以$rank(B) = n$。因为A是4x3的矩阵,所以它的列空间的维数为2。因此,$rank(A) = 2$,说明A的列空间的维数为2。因为B可逆,所以B的列空间的维数也为n(即为3)。因此,$rank(AB) \leq 2$。又因为$rank(AB)$至少为0,所以$rank(AB) = 0$或1或2。如果$rank(AB) = 0$,那么AB的所有列都在零向量空间中,这意味着B的列空间不能包含A的列空间,与前提条件矛盾。如果$rank(AB) = 1$,那么AB的所有列都在一维列空间中,这意味着B的列空间必须包含A的列空间,但是这违反了A的列空间的维数为2的事实。因此,$rank(AB) = 2$。
相关问题
A是4×3的矩阵并且A的秩为2,B矩阵可逆为什么A×B矩阵的秩是1
因为A的秩为2,所以A的列向量中存在一组线性无关的向量组,不妨设为a1和a2。又因为A的列向量个数为3,所以存在一个非零向量c,使得c与a3线性无关。
因为B可逆,所以B的列向量也是线性无关的。因此,A×B的列向量可以表示为:
A×B = [a1, a2, a3] × [B1, B2, B3]
其中,B1、B2和B3分别是B的三个列向量。
因为A的秩为2,所以a1和a2线性无关,可以表示为:
a1 = k1 × [1, 0, 0]T + m1 × [0, 1, 0]T
a2 = k2 × [1, 0, 0]T + m2 × [0, 1, 0]T
其中,k1、k2、m1、m2均不为0。因此,A×B的前两列可以表示为:
A×B1 = k1 × [a11, a21, a31]T + k2 × [a12, a22, a32]T
A×B2 = m1 × [a11, a21, a31]T + m2 × [a12, a22, a32]T
其中,a11、a12、a21、a22、a31、a32分别是矩阵A的元素。
因为a3和c线性无关,所以存在一组非零系数x和y,使得:
a3 = x × c + y × [0, 0, 1]T
因此,A×B的第三列可以表示为:
A×B3 = x × [a31, a32, 0]T + y × [a33, a34, 0]T
其中,a33、a34分别是矩阵A的元素。
由于B可逆,所以A×B的秩等于B的秩,即A×B的秩等于3。但是,根据以上分析可得,A×B的第三列可以表示为前两列的线性组合,因此A×B的秩为1。
a是可逆矩阵,则r(ab)=r(b)
要证明在矩阵乘法中,如果矩阵A是可逆矩阵,则对于任意矩阵B,有r(AB)=r(B)。
首先,我们知道,矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组的行数。设矩阵B的秩为r,即r(B) = r。
我们知道可逆矩阵A满足AA^-1=I,其中I为单位矩阵。假设矩阵B的列向量为x1, x2, ..., xn,那么有如下关系:
AB(x1, x2, ..., xn) = (Ax1, Ax2, ..., Axn) = (y1, y2, ..., yn)
其中,y1, y2, ..., yn为矩阵A左乘矩阵B后的列向量。
假设y1, y2, ..., yn中的某一个列向量yi可以由其余列向量表示,则存在实数c1, c2, ..., cn-1,使得:
yi = ∑ciyj, j≠i,其中∑表示求和。
那么根据矩阵乘法的定义,我们有:
Ax1 = ∑ciAxj, j≠1
Ax2 = ∑ciAxj, j≠2
...
Axi = ∑ciAxj, j≠i
...
Axn = ∑ciAxj, j≠n
由于矩阵A是可逆矩阵,所以我们可以将等式两边同时左乘A^-1,得到:
x1 = ∑ciAxj(A^-1), j≠1
x2 = ∑ciAxj(A^-1), j≠2
...
xi = ∑ciAxj(A^-1), j≠i
...
xn = ∑ciAxj(A^-1), j≠n
上述等式表明,矩阵B的列向量x1, x2, ..., xn可以由其余列向量表示,即在矩阵B中存在部分列可以被其他列线性表示。
根据秩的定义,矩阵B中存在r个列向量x1, x2, ..., xr,它们线性无关,因此,在将这r个列向量A左乘A^-1之后,仍然是线性无关的。
因此,矩阵AB的秩为r,即r(AB) = r。
综上所述,可逆矩阵A满足r(AB)=r(B)。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![doc](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083327.png)
![docx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083331.png)
![-](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_column_c1.png)
![-](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_column_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)