已知 n 个左闭右开区间 [a,b),对其进行 m 次询问,求区间[l,r]最多可以包含 n 个区间中的多少个区间,并且被包含的所有区间都不相交。
时间: 2023-05-31 13:20:20 浏览: 131
### 回答1:
题目中已知左闭右开区间[a,b),进行m次询问,求区间[l,r]最多包含n个区间,且所有包含的区间都不相交。
即要求找到一个最大的、没有交叉的、包含n个区间的[l,r]区间。
其中所有包含的区间都不相交,则该区间的长度为n*(b-a)/n = b-a,也就是长度为b-a的区间全部都是符合条件的区间。
因此,最大的、没有交叉的、包含n个区间的[l,r]区间是[a,b),长度为b-a。
### 回答2:
首先,我们可以将所有区间按照左端点从小到大排序,如果左端点相同,则按右端点从小到大排序。这样排序后,我们可以得到一个有序的区间数组。
对于每次询问,我们可以使用二分法查找区间[l,r]在有序区间数组中的位置,同时记录下左端点小于等于l的最大区间下标和右端点小于等于r的最大区间下标。我们可以用这两个下标来表示[l,r]内包含的所有区间。
接下来,我们可以使用动态规划来求解。假设我们已经求出了[l,r]内所有不相交区间的最大数量f[r],那么我们可以得到:
f[l] = f[l-1],如果l-1不包含任何区间。
f[l] = max(f[l-1], f[i]+cnt[l,r]),其中i为左端点小于等于l-1的最大区间下标,cnt[l,r]为[l,r]内所有不相交区间的数量。
其中,f[i]表示左端点小于等于i的最大不相交区间数量。
我们可以使用一个单调栈来快速找到左端点小于等于i的最大区间下标。具体来说,我们维护一个单调递减的区间下标栈,每次将新区间加入栈中之前,将栈中所有右端点大于等于新区间左端点的区间弹出,然后将新区间加入栈中。这样,栈顶的区间就是左端点小于等于i的最大区间下标。
最后,f[r]就是[l,r]内所有不相交区间的最大数量。
时间复杂度为O(nlogn+mlogn),空间复杂度为O(n)。
### 回答3:
首先将所有左端点和右端点按照从小到大的顺序进行排序,然后枚举区间[l,r]。对于[l,r],可以先找到左端点大于等于l的最小区间的下标i,然后在区间[i,n) 中寻找右端点小于等于r的最大区间的下标j。可以通过二分查找或者线段树来优化这个过程。
接下来考虑如何计算区间[l,r]中最多包含多少个区间。可以将区间按照右端点从小到大排序,使用贪心算法对区间进行选取。具体来说,假设当前选择的区间数量为cnt,下一个可选的区间集合为S,则从S中选择右端点最小的区间加入cnt中。由于区间已经按照右端点排序,因此选择右端点最小的区间是最优的选择。每选择一个区间,就将它从集合S中删除。直到cnt=n或者S为空为止。如果cnt=n,则说明[l,r]中能够包含所有区间。
最后需要保证被包含的所有区间都不相交。可以对所有选出来的区间按照左端点进行排序,然后检查相邻的两个区间是否有交集即可。如果有任意一对区间有交集,则说明[l,r]不能包含所有区间,需要尝试其他区间。