扩展kalman滤波 理论结合代码

Kalman滤波器是一种用于从不完全和有误差的信息源中估计状态变量的算法。Kalman滤波器最初是为控制理论应用而设计的，后来被广泛应用于信号处理、通信、图像处理、机器人等领域。在实际应用中，Kalman滤波器的精度和效率往往会受到多种因素影响。因此，扩展kalman滤波（Extended Kalman Filter, EKF）应运而生，是推广的kalman滤波，用于处理非线性问题。

EKF的基本思想是通过将状态变量近似为非线性函数在先验值附近的线性函数的方式来处理非线性。在EKF中，状态和状态转移方程通过非线性函数表示，并且线性卡尔曼滤波中的协方差矩阵和卡尔曼增益是通过扩展卡尔曼滤波的方法获得的。

下面我们通过一个简单的例子来演示EKF的实现：

考虑一个非线性系统，其中状态变量是角度，状态转移方程为：

$$x_k = x_{k-1} + cos(x_{k-1}) + v_k$$

其中$v_k$是高斯白噪声，$v_k \sim N(0,q_k)$

观测方程为：

$$z_k = cos(x_k) + w_k$$

其中$w_k$是高斯白噪声，$w_k \sim N(0,r_k)$

我们可以将系统状态表示为向量$[x\ \dot{x}]^T$，状态转移矩阵如下：

$$\begin{bmatrix}x_k\\ \dot{x_k}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & \Delta t\\0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{k-1}\\ \dot{x_{k-1}}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0.5\Delta t^2\\ \Delta t\end{bmatrix}a_k$$

其中$a_k$是加速度，$\Delta t$是采样时间间隔，可以固定或由传感器提供。

观测矩阵如下：

$$\begin{bmatrix}x_k\\ \dot{x_k}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_k\\ \dot{x_k}\end{bmatrix}$$

我们假设加速度的方差为0.2，观测噪声的方差为1，初始值为0，$x_{0} = 0$，$\dot{x_{0}} = 1$，采样时间间隔为0.1秒，采样次数为50次。

代码实现如下：

首先导入所需库：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

定义系统参数：

dt = 0.1
q = 0.2
r = 1

# 状态转移矩阵
F = np.array([[1, dt],[0,1]])
# 观测矩阵
H = np.array([[1, 0]])

初始化输入、观测和状态变量：

# 输入加速度
a = np.ones(50) * 10

# 初始状态
x = np.array([0,1])

# 观测值
z = np.cos(x[0]) + np.random.normal(0, np.sqrt(r))
z_list = [z]

# 协方差矩阵
P = np.eye(2) * 0.1

利用扩展卡尔曼滤波实现状态更新：

for i in range(1, len(a)):
    
    # 状态转移方程
    x_ = np.dot(F, x) + np.array([0.5*dt**2, dt]) * a[i]
    
    # 状态协方差预测
    P_ = np.dot(np.dot(F, P), F.T) + np.eye(2) * q
    
    # 计算雅可比矩阵
    J = np.array([[-np.sin(x[0])], [0]])
    
    # 卡尔曼增益计算
    K = np.dot(np.dot(P_, J.T), np.linalg.inv(np.dot(np.dot(J, P_), J.T) + r))
    
    # 观测更新
    x = x_ + np.dot(K, (z - np.cos(x_[0])))
    
    # 协方差更新
    P = np.dot((np.eye(2) - np.dot(K, J)), P_)
    
    # 保存观测值
    z = np.cos(x[0]) + np.random.normal(0, np.sqrt(r))
    z_list.append(z)

绘图输出结果：

x_list = np.array(x_list)
plt.plot(x_list[:,0], x_list[:,1])
plt.title('Trajectory')
plt.xlabel('Angle')
plt.ylabel('Velocity')
plt.show()

plt.plot(x_list[:,0])
plt.plot(z_list)
plt.title('Observation')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Angle')
plt.show()

通过上述代码，我们成功地构建了一个EKF滤波器，对非线性系统的状态进行了估计，并绘制了系统状态随时间变化的图像。实际应用中，EKF可扩展到多种非线性系统，并可通过更改系统参数进行适应和修正。