分别用最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法和信赖域法求解 min┬(x∈R^n )⁡〖f(x)=100〖(x_1^2-x_2)〗^2+〖(x_1-1)〗^2 〗, 并分析不同初始点对算法迭代次数和目标函数值的影响。

首先，我们来分析一下目标函数f(x)的性质，进而选择合适的优化算法：

f(x)是一个二次函数，具有唯一全局最小值，即f(1,1)=0。

f(x)的Hessian矩阵不是正定的，因此不能直接使用牛顿法。

综合考虑，我们选择最速下降法、共轭梯度法、拟牛顿法和信赖域法对目标函数进行优化。

不同初始点对算法迭代次数和目标函数值的影响：

最速下降法：最速下降法的收敛速度受初始点的影响较大，如果初始点不在最优解附近，可能会导致收敛速度非常慢，需要进行大量的迭代才能达到最优解。因此，初始点的选择对于最速下降法的迭代次数和目标函数值有很大的影响。

共轭梯度法：共轭梯度法的收敛速度比最速下降法快，且不会出现震荡现象。因此，即使选择了一个较远的初始点，共轭梯度法也能在较少的迭代次数内收敛到最优解。但是，如果初始点选择的不是特别好，也可能会导致共轭梯度法的迭代次数较多。

拟牛顿法：拟牛顿法的收敛速度比最速下降法和共轭梯度法都要快。但是，拟牛顿法需要存储和更新Hessian矩阵的逆矩阵，因此需要较多的计算和存储开销。对于不同初始点，拟牛顿法的迭代次数和目标函数值的差异不会太大。

信赖域法：信赖域法的迭代次数和目标函数值都受初始点的影响较小。因为信赖域法每次只在局部区域内进行优化，不会受到全局最优解的影响。因此，在选择初始点时，优先考虑初始点的可行性和计算效率即可。

综上所述，不同的优化算法对不同的初始点都有不同的影响。在实际应用中，需要根据实际情况选择合适的算法和初始点，以达到更好的优化效果。

相关问题

求解信赖域子问题的光滑牛顿法

光滑牛顿法是一种求解信赖域子问题的方法，其基本思想是在信赖域内求解一个二次模型，并使用牛顿法来求解这个模型的最小值点。具体步骤如下：

步骤1：初始化

选择一个初始点 $x_0$，设定信赖域半径 $\Delta_0$ 和牛顿法收敛容限 $\epsilon$，并令 $k=0$。

步骤2：求解二次模型

在当前点 $x_k$ 处，构造二次模型：

$$
m_k(p)=f_k+\nabla f_k^Tp+\frac{1}{2}p^TB_kp
$$

其中，$f_k=f(x_k)$ 是目标函数在 $x_k$ 处的函数值，$\nabla f_k$ 是目标函数在 $x_k$ 处的梯度，$B_k$ 是目标函数在 $x_k$ 处的海森矩阵或拟牛顿矩阵。

步骤3：求解子问题

在信赖域 $\Delta_k$ 内求解下列子问题：

$$
\min_{\|p\|\leq \Delta_k}m_k(p)
$$

可以使用任意优化算法来求解上述子问题，例如共轭梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。

步骤4：更新迭代点

设 $p_k$ 是子问题的最优解，令 $x_{k+1}=x_k+p_k$，计算目标函数在 $x_{k+1}$ 处的函数值 $f_{k+1}=f(x_{k+1})$ 和梯度 $\nabla f_{k+1}$。

步骤5：更新信赖域半径

根据当前点 $x_k$ 和迭代点 $x_{k+1}$ 的改变量 $\Delta x_k=x_{k+1}-x_k$ 和函数值改变量 $\Delta f_k=f_{k+1}-f_k$，计算实际下降量 $\rho_k=\frac{\Delta f_k}{m_k(0)}$ 和预测下降量 $\hat{\rho}_k=\frac{\Delta f_k}{m_k(0)-m_k(p_k)}$。

如果实际下降量 $\rho_k$ 较小，则缩小信赖域半径 $\Delta_{k+1}$；如果预测下降量 $\hat{\rho}_k$ 较大，则增大信赖域半径 $\Delta_{k+1}$；否则保持信赖域半径不变。

步骤6：判断收敛

如果 $\|\nabla f_k\|\leq \epsilon$，则停止迭代；否则令 $k=k+1$，返回步骤2。

需要注意的是，在求解子问题时，需要保证 $B_k$ 是正定矩阵，否则需要对其进行修正，例如使用 BFGS 方法进行修正。此外，为了保证算法的收敛性和稳定性，还需要进行一些其他的细节处理，例如限制信赖域半径的最大值和最小值，避免牛顿步长过大等。