近世代数三次对称群S3的偶置换的个数为
时间: 2024-04-01 07:38:42 浏览: 13
三次对称群 $S_3$ 中的偶置换由两个互换的置换组成,其中每个置换都是 $2$ 个元素的置换。我们可以列出所有的两个元素置换:
$$(12),(13),(23)$$
其中 $(ab)$ 表示将 $a$ 映射到 $b$,$b$ 映射到 $a$,其余元素不变的置换。因此,可以得到以下三个偶置换:
$$(12)(13),(12)(23),(13)(23)$$
因此,$S_3$ 中的偶置换的个数为 $3$。
相关问题
近世代数求s6的偶置换
首先,我们知道s6是由6个元素的置换群,即所有由6个元素的排列所组成的群。其中,偶置换是指置换中有偶数对元素交换位置,而奇置换是指置换中有奇数对元素交换位置。
因此,要求s6的偶置换,我们可以考虑将所有的置换分为偶置换和奇置换两类,然后只保留偶置换即可。具体地,我们可以使用以下公式来计算s6的元素的奇偶性:
(-1)^n
其中,n是置换中交换相邻两元素的次数。如果n是偶数,则置换是偶置换,否则为奇置换。
在s6中,每个置换都可以表示为6个元素的排列。例如,置换(1 2 3)(4 5 6)表示将1、2、3这三个元素互换位置,将4、5、6这三个元素互换位置,而其他元素不变。
因此,我们可以对s6中的每个置换,计算它的奇偶性,只保留偶置换,这样得到的就是s6的偶置换了。
需要注意的是,s6的元素非常多,其置换的数量为6! = 720,因此计算起来比较繁琐。
近世代数置换(34)(1245)=(12345)的阶为
首先,我们可以计算出置换 $(34)(1245)$ 的轮换分解式为 $(1)(2\ 3\ 4\ 5)$,因此它是一个五元循环置换。同时,置换 $(1\ 2\ 3\ 4\ 5)$ 的阶为 $5$,因为它是一个五元循环置换,每次作用它都会将 $1$ 映射到 $2$,$2$ 映射到 $3$,$\cdots$,$5$ 映射到 $1$,因此重复作用 $5$ 次后又回到原来的置换,即 $(1\ 2\ 3\ 4\ 5)^5 = (1)$。因此,我们有:
$$(34)(1245) = (1)(2\ 3\ 4\ 5) = (1\ 2\ 3\ 4\ 5)^1$$
也就是说,$(34)(1245)$ 的阶为 $5$。