用位置矢量和位置切量计算已知P0（2，3） P1（10，8）P0’（1，1）P1’（2，2），写出其对应的三次参数样条曲线，并求t=1/3时对应值的详细过程

首先，我们需要计算出P0和P1的切向量。切向量的计算公式为：

$$
\mathbf{T_0}=\frac{\mathbf{P_1-P_0'}}{t_1-t_0}=\frac{\begin{bmatrix}10\\8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}{1-0}=\begin{bmatrix}9\\7\end{bmatrix}
$$

$$
\mathbf{T_1}=\frac{\mathbf{P_1'-P_0}}{t_2-t_1}=\frac{\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}{2-1}=\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}
$$

接下来，我们需要计算出控制点向量。控制点向量的计算公式为：

$$
\mathbf{Q_0}=\mathbf{P_0}
$$

$$
\mathbf{Q_1}=\mathbf{P_0}+\frac{1}{3}\mathbf{T_0}
$$

$$
\mathbf{Q_2}=\mathbf{P_1'}-\frac{1}{3}\mathbf{T_1}
$$

$$
\mathbf{Q_3}=\mathbf{P_1}
$$

将P0、P1、Q0、Q1、Q2、Q3代入三次参数样条曲线的计算公式：

$$
\mathbf{C}(t)=(1-t)^3\mathbf{Q_0}+3t(1-t)^2\mathbf{Q_1}+3t^2(1-t)\mathbf{Q_2}+t^3\mathbf{Q_3}
$$

即可得到三次参数样条曲线。

$$
\mathbf{C}(t)=(1-t)^3\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}+3t(1-t)^2\begin{bmatrix}2+3t\\3+4t\end{bmatrix}+3t^2(1-t)\begin{bmatrix}2-3t\\3-4t\end{bmatrix}+t^3\begin{bmatrix}10\\8\end{bmatrix}
$$

将t=1/3代入上式，即可得到对应的值：

$$
\mathbf{C}(\frac{1}{3})=(1-\frac{1}{3})^3\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}+3\frac{1}{3}(1-\frac{1}{3})^2\begin{bmatrix}2+3\frac{1}{3}\\3+4\frac{1}{3}\end{bmatrix}+3(\frac{1}{3})^2(1-\frac{1}{3})\begin{bmatrix}2-3\frac{1}{3}\\3-4\frac{1}{3}\end{bmatrix}+(\frac{1}{3})^3\begin{bmatrix}10\\8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3.333\\3.444\end{bmatrix}
$$

因此，当t=1/3时，对应的值为 $\begin{bmatrix}3.333\\3.444\end{bmatrix}$。