求幂级数nx^(n-1)的和函数并给出解题过程

我们首先要求出nx^(n-1)的幂级数表示。根据幂级数的定义，我们有：

nx^(n-1) = n(x^n)' = n(d/dx)(x^n)

因此，nx^(n-1)的幂级数表示为：

∑(n>=0) [n(d/dx)(x^n)] = ∑(n>=0) [n^2x^(n-1)]

现在我们需要求出这个幂级数的和函数。为此，我们考虑对幂级数求一次积分：

∫[∑(n>=0) n^2x^(n-1)]dx = ∑(n>=0) n^2 * ∫(x^(n-1))dx

∫(x^(n-1))dx = 1/n * x^n + C

其中C为常数。因此，我们有：

∫[∑(n>=0) n^2x^(n-1)]dx = ∑(n>=0) n^2 * [1/n * x^n + C]

= ∑(n>=1) nx^n + C

因此，幂级数nx^(n-1)的和函数为：

f(x) = ∑(n>=1) nx^n + C

其中C为常数，由初值条件所确定。