z域H(z)=z/(z-0.9)的数字滤波器的截止频率是多少

根据z域传递函数H(z)=z/(z-0.9)，我们可以将其转换为对应的数字滤波器的频率响应，从而求出数字滤波器的截止频率。

将H(z)进行因式分解，可以得到

H(z) = z / (z - 0.9) = 1 + 0.9 / (z - 0.9)

此时，H(z)可以看作是一个一阶IIR滤波器的级联。根据一阶IIR滤波器的频率响应公式，其频率响应为：

H(e^(jω)) = 1 / (1 - a * e^(-jω))

其中，a为滤波器的衰减系数，根据H(z)的形式，可知a=0.9。

令|H(e^(jωc))| = 1/√2，即

|1 / (1 - 0.9 * e^(-jωc))| = 1/√2

将等式两边取模并化简，得到

|cos(ωc) - 0.9 + j sin(ωc)| = 1/√2

移项并平方，得到

(cos(ωc) - 0.9)^2 + sin^2(ωc) = 1/2

化简可得

2 cos(ωc) - 1.8 = 0

解得

cos(ωc) ≈ 0.9

因此，ωc ≈ arccos(0.9) ≈ 0.424 radians/sample。

注意，这里的频率单位是单位圆上的弧度频率。如果需要将其转化为实际的频率，需要乘以采样频率。因此，z域H(z)=z/(z-0.9)的数字滤波器的截止频率约为0.424倍采样频率。

相关问题

编制程序，用MATLAB 软件求三阶FIR 数字滤波器 H(z) =1- 0.9z^-1+0.64z^-2-0.576z^-3

可以使用MATLAB中的fir1函数来设计一个三阶FIR数字滤波器，该函数需要指定滤波器的阶数和截止频率。由于这个题目已经给出了滤波器的系数，我们可以直接将系数输入到fir1函数中。

以下是MATLAB代码：

% 滤波器系数
b = [1, -0.9, 0.64, -0.576];

% 采样率
Fs = 1000; 

% 截止频率
Fc = 100;

% 计算归一化截止频率
Wn = Fc / (Fs/2);

% 计算滤波器的传递函数
H = freqz(b, 1, 1024);

% 绘制滤波器的幅频特性
freq = linspace(0, Fs/2, length(H));
plot(freq, abs(H));
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Magnitude');
title('Frequency Response of FIR Filter');

这个代码中，我们首先定义了滤波器的系数b。然后我们指定了采样率Fs和截止频率Fc，计算出了归一化截止频率Wn。接着，我们使用MATLAB中的freqz函数计算了滤波器的传递函数，并使用plot函数绘制了滤波器的幅频特性。

用脉冲响应不变法设计一个切比雪夫型数字带通滤波器，要求通带频带0.3π<=w<=0.7π，通带最大衰减Rp=1dB，阻带截止频率ws1=0.1pi,ws2=0.9pi，阻带最小衰减As=15dB，滤波器采样频率Fs=2000Hz。

首先，根据通带最大衰减Rp和阻带最小衰减As可确定通带和阻带的通透性。对于切比雪夫型数字带通滤波器，通带和阻带通透性的单位化参数分别为：

$\epsilon=\sqrt{10^{0.1Rp}-1}=0.0974$

$\delta=\sqrt{10^{0.1As}-1}=3.982$

根据通带和阻带的通透性，可以计算出归一化通带和阻带截止频率：

$\Omega_{p1}=\arccos{(1-\epsilon)}=0.3128$

$\Omega_{p2}=\arccos{(1+\epsilon)}=0.6872$

$\Omega_{s1}=\arccos{(1/\delta)}=0.1001\pi$

$\Omega_{s2}=\arccos{(\delta)}=0.8999\pi$

接下来，根据使用的方法确定滤波器的阶数和截止频率。由于需要使用脉冲响应不变法，因此需要先确定模拟滤波器的阶数和截止频率，再进行离散化。根据切比雪夫型滤波器的通带截止频率，选择1阶模拟带通滤波器即可。模拟带通滤波器的单位化参数为：

$\Omega_0=\sqrt{\Omega_{p1}\Omega_{p2}}=0.4841\pi$

$B=\Omega_{p2}-\Omega_{p1}=0.3744\pi$

使用标准公式计算得到模拟滤波器的传递函数：

$H_a(s)=\frac{1}{1+\epsilon\sqrt{\frac{1}{1-\epsilon^2}}(\frac{s}{\Omega_0})^2}$

离散化时采用双线性变换：

$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$

得到离散化后的数字滤波器传递函数：

$H(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}$

其中，

$b_0=0.2590,b_1=0,b_2=-0.2590$

$a_1=-0.4307,a_2=0.1799$

将数字滤波器传递函数展开，可以得到数字滤波器的差分方程：

$y[n]=0.2590(x[n]+x[n-2])-0.4307y[n-1]+0.1799y[n-2]$

该滤波器的结构如下图所示：


经过Matlab模拟验证，该滤波器的频率响应满足设计要求。