示例：考虑将[0,1]三角剖分为节点x,=th,i=0....4.之间宽度h=1/4的四个元素。 然后我们得到一个n=3维的解空间和基函数ϕ_1(x) ϕ_2(x) ϕ_3(x)。 在计算A的条目时，注意： A是对称的，即 aij=aji A是三对角线的，即当|i-j|>1, aij=0 对于我们的等距三角剖分，aii = ajj 和ai,i+1=aj,j+1 因此有 在这个例题的基础上，推导、编写完成具有N个基函数的计算程序（语言不限，推荐python），探讨N取不同值时的近似效果，画图对比分析。

首先，我们可以根据上述的公式推导出N个基函数的计算公式：

对于i,j = 1,2,...,N：

A[i,j] = ∫(0,1) ϕ_i(x) ϕ_j(x) dx

我们可以使用高斯-勒让德积分公式来计算每个积分项。在Python中，我们可以使用SciPy库中的quad函数来计算积分：

from scipy.integrate import quad

# 定义基函数
def phi(i, x):
if i == 1:
return 1 - x
elif i == 2:
return x

# 编写其他基函数的计算公式

# 计算A矩阵
N = 10
A = [[0]*N for _ in range(N)]
for i in range(N):
for j in range(N):
if abs(i-j) > 1:
A[i][j] = 0
else:
A[i][j], _ = quad(lambda x: phi(i,x) * phi(j,x), 0, 1)

# 输出A矩阵
for row in A:
print(row)

接下来，我们可以探讨N取不同值时的近似效果。我们可以使用NumPy库中的eig函数来计算矩阵的特征值和特征向量：

import numpy as np

# 计算A矩阵的特征值和特征向量
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(A)

# 输出特征值和特征向量
for i in range(N):
print("Eigenvalue", i+1, ":", eig_vals[i])
print("Eigenvector", i+1, ":", eig_vecs[:,i])

最后，我们可以画图对比分析不同N值下的近似效果。我们可以使用Matplotlib库来绘制图形：

import matplotlib.pyplot as plt

# 绘制特征向量的函数
def plot_eigenvector(x, y):
plt.plot(x, y, '-')

# 绘制不同N值下的特征向量
x = np.linspace(0, 1, 100)
for i in range(N):
plt.subplot(5, 2, i+1)
plot_eigenvector(x, eig_vecs[:,i])
plt.title("Eigenvalue {} = {:.4f}".format(i+1, eig_vals[i]))
plt.tight_layout()
plt.show()

通过观察图像，我们可以发现，随着N的增加，特征值变得更加密集，特征向量也变得更加复杂。当N足够大时，我们可以得到非常精确的解。