运用柱坐标系计算三重积分 ∫ ∫ ∫ E √ x 2 + y 2 d V ，其中 E 是由 圆形抛物面 z = 9 − 1 ( x 2 + y 2 ) 和 x y 平面界定的区域。

首先，我们需要将积分区域 E 的描述转换为柱坐标系下的描述。由于 E 是由圆形抛物面和 xy 平面界定的区域，因此圆形抛物面的方程可以转换为：

ρ^2 = 9 - z

其中，ρ 和 z 分别是柱坐标系下的径向和轴向坐标。将其转换为极坐标系下的描述：

ρ^2 = 9 - z = 9 - ρ^2 cos^2 θ - ρ^2 sin^2 θ = 9ρ^2 sin^2 θ

因此，我们可以得到积分区域 E 在柱坐标系下的描述：

0 ≤ ρ ≤ 3sinθ

0 ≤ θ ≤ 2π

0 ≤ z ≤ 9 - ρ^2

接下来，我们可以将积分区域 E 中的积分式转换为柱坐标系下的积分式：

∫∫∫E √x^2 + y^2 dV = ∫∫∫E ρ√(ρ^2 cos^2 θ + ρ^2 sin^2 θ)ρ dρdθdz

= ∫0^2π ∫0^3sinθ ∫0^(9-ρ^2) ρ^2 sinθdρdθdz

= ∫0^2π ∫0^3sinθ [(1/3)(9-ρ^2)^3/2]sinθdρdθ

= 2π ∫0^3 [-(1/15)(9-ρ^2)^(5/2)]dρ

= 2π [(2/15)9^(5/2) - (2/15)∫0^3 ρ^5/2 dρ]

= 2π [(2/15)9^(5/2) - (4/21)3^(7/2)]

= 2π [(8/105)9^(5/2) - (4/21)3^(7/2)]

因此，所求的三重积分的结果为 2π [(8/105)9^(5/2) - (4/21)3^(7/2)]。