蓝桥杯python回路计数

回路计数问题是计算一个无向图中回路的个数。这里介绍一种基于矩阵树定理的方法。

矩阵树定理是一种计算图的生成树个数的方法，它利用的是一个图的拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）的性质：生成树个数等于其拉普拉斯矩阵去掉任意一行和一列后的行列式。

对于一个无向图，我们可以将其转化为有向图，即对于每条无向边，我们将其拆成两条有向边，方向分别为两个端点指向对方。对于有向图，其拉普拉斯矩阵的定义如下：

设 $D$ 为 $n\times n$ 的度矩阵，$A$ 为 $n\times n$ 的邻接矩阵，则该有向图的拉普拉斯矩阵为 $L=D-A$。

对于无向图，其度矩阵 $D$ 是一个对角矩阵，其对角线元素为每个节点的度数。邻接矩阵 $A$ 中，若节点 $i$ 与节点 $j$ 相连，则 $A_{ij}=1$，否则 $A_{ij}=0$。由于无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵，所以其拉普拉斯矩阵也是一个对称矩阵。其行列式可以通过高斯消元或利用矩阵的行列式计算公式来求解。

对于一个无向图 $G$，其回路计数可以通过拉普拉斯矩阵来求解。我们可以将其拉普拉斯矩阵的任意一行与一列删除，得到一个 $n-1\times n-1$ 的矩阵 $L_{ij}$。设 $T_{ij}$ 为以节点 $i$ 为根节点，节点 $j$ 为叶节点的生成树个数，则有：

$$T_{ij}=\begin{cases}(-1)^{i+j}(L_{ij})^{*}&i\neq j\\d_i&i=j\end{cases}$$

其中 $d_i$ 为节点 $i$ 的度数，$(L_{ij})^{*}$ 表示将 $L_{ij}$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列删掉后得到的 $(n-2)\times(n-2)$ 矩阵的行列式。

对于一个无向图，其回路计数为所有 $T_{ij}$ 的和，即：

$$C=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}T_{ij}$$

这个公式的时间复杂度为 $O(n^3)$，适用于小规模的无向图计算。对于大规模的无向图，可以使用基于矩阵树定理的快速算法来计算。