matlab 实现subsampled random Fourier transform矩阵构造

Subsampled Random Fourier Transform (SRFT) 是一种用于低秩近似的矩阵构造方法，它可以用于快速计算傅里叶变换等线性变换。本文将介绍如何使用 MATLAB 实现 SRFT 矩阵的构造。

SRFT 矩阵的构造方法如下：

1. 从高斯分布 $N(0,1)$ 中随机生成一个 $n \times d$ 的矩阵 $\boldsymbol{G}$。

2. 令 $\boldsymbol{\Omega} = \sqrt{\frac{n}{m}} \boldsymbol{F} \boldsymbol{G}$，其中 $\boldsymbol{F}$ 是 $d \times d$ 的傅里叶矩阵，$m$ 是输出向量的维度，通常取 $m \ll n$。

3. 对 $\boldsymbol{\Omega}$ 的每一列进行调整，即 $\boldsymbol{\Omega}_{:,i} = \boldsymbol{\Omega}_{:,i} - \boldsymbol{\mu_i}$，其中 $\boldsymbol{\mu_i}$ 是 $\boldsymbol{\Omega}_{:,i}$ 的均值。

下面是使用 MATLAB 实现 SRFT 矩阵的代码：

function Omega = SRFT(n, m, d)
% 构造 SRFT 矩阵
% n: 输入向量的维度
% m: 输出向量的维度
% d: 高斯矩阵的列数

% 生成高斯矩阵 G
G = randn(d, n);

% 生成傅里叶矩阵 F
F = fft(eye(d)) / sqrt(d);

% 计算 Omega
Omega = sqrt(n / m) * F * G;

% 对每一列进行调整
mu = mean(Omega, 1);
Omega = Omega - mu;
end

使用示例：

n = 100;
m = 20;
d = 50;
Omega = SRFT(n, m, d);

其中，`n` 是输入向量的维度，`m` 是输出向量的维度，`d` 是高斯矩阵的列数。函数返回一个 $n \times m$ 的 SRFT 矩阵 $\boldsymbol{\Omega}$。

注意，由于 MATLAB 中的 FFT 函数的定义与 SRFT 矩阵的定义略有不同，因此在计算傅里叶矩阵时需要对其进行归一化，即除以 $\sqrt{d}$。