求1+x乘以ln(x+根号下1+x^2)-根号下1+x^2在x趋向负无穷的极限是多少

首先，我们可以将该式子化简为：

lim (x → -∞) [1+x)ln(x+√(1+x^2))-√(1+x^2)]

接着，我们需要将式子中的 ln(x+√(1+x^2)) 拆开，得到：

lim (x → -∞) [(1+x)ln(x+√(1+x^2)) - x - √(1+x^2)]

然后，我们可以将式子中的 ln(x+√(1+x^2)) 视为自然对数的形式，即 ln(x+√(1+x^2)) = ln[(x+√(1+x^2))/(1+x)] + ln(1+x)

于是，我们得到：

lim (x → -∞) [(1+x)ln[(x+√(1+x^2))/(1+x)] + (1+x)ln(1+x) - x - √(1+x^2)]

接下来，我们将式子中的 ln[(x+√(1+x^2))/(1+x)] 展开，得到：

ln[(x+√(1+x^2))/(1+x)] = ln(x+√(1+x^2)) - ln(1+x)

将其代入原式中，得到：

lim (x → -∞) [(1+x)[ln(x+√(1+x^2)) - ln(1+x)] + (1+x)ln(1+x) - x - √(1+x^2)]

接下来，我们将式子中的 √(1+x^2) 视为 x√(1+1/x^2) 的形式，得到：

lim (x → -∞) [(1+x)[ln(x+ x√(1+1/x^2)) - ln(1+x)] + (1+x)ln(1+x) - x - x√(1+1/x^2)]

然后，我们可以将式子中的 ln(x+ x√(1+1/x^2)) 展开，得到：

ln(x+ x√(1+1/x^2)) = ln(x(1+√(1+1/x^2))) = ln|x| + ln(1+√(1+1/x^2))

将其代入原式中，得到：

lim (x → -∞) [(1+x)[ln|x| + ln(1+√(1+1/x^2)) - ln(1+x)] + (1+x)ln(1+x) - x - x√(1+1/x^2)]

接下来，我们可以使用洛必达法则来求解该极限。首先，我们需要求解分子和分母的导数，得到：

lim (x → -∞) [ln(1+√(1+1/x^2))/x^2 - ln(1+x)/x^2 + ln(1+x)/(1+x) - 1/√(1+x^2) - √(1+1/x^2)/(x^2√(1+x^2)))]

然后，我们可以依次将 x 趋近于负无穷时各项的极限计算出来：

lim (x → -∞) ln(1+√(1+1/x^2))/x^2 = lim (x → -∞) (1/(1+√(1+1/x^2)))*(1/2x√(1+1/x^2)) = 0

lim (x → -∞) ln(1+x)/x^2 = lim (x → -∞) (1/(1+x))*(1/x) = 0

lim (x → -∞) ln(1+x)/(1+x) = lim (x → -∞) (1/(1+x))*(1/(1+x)) = 0

lim (x → -∞) 1/√(1+x^2) = 1

lim (x → -∞) √(1+1/x^2)/(x^2√(1+x^2)) = lim (x → -∞) (1/x^2)/(1+1/x^2) = 0

因此，原式的极限为：

lim (x → -∞) [ln(1+√(1+1/x^2))/x^2 - ln(1+x)/x^2 + ln(1+x)/(1+x) - 1/√(1+x^2) - √(1+1/x^2)/(x^2√(1+x^2)))]

= 0 - 0 + 0 - 1 - 0

= -1

因此，原式的极限为 -1。