yalmip求解方程例子

以下是一个 YALMIP 的例子，用于求解一个线性方程组：

% 定义变量
x = sdpvar(n,1);

% 定义约束
constraints = A*x == b;

% 定义目标函数
objective = c'*x;

% 求解问题
optimize(constraints, objective);

% 输出结果
value(x)

其中，变量 `x` 是一个 `n` 维列向量，`A` 是一个 `m x n` 维矩阵，`b` 是一个 `m` 维列向量，`c` 是一个 `n` 维列向量。

在 YALMIP 中，我们首先需要定义变量，然后定义约束和目标函数，最后使用 `optimize` 函数求解问题。在求解完成后，我们可以使用 `value` 函数获取变量的解。

需要注意的是，YALMIP 支持的约束和目标函数种类非常丰富，包括线性、二次、半定规划等不同类型的问题。在使用 YALMIP 时，需要根据具体问题选择合适的约束和目标函数。

相关问题

综合能源系统yalmip

### 综合能源系统的YALMIP使用方法及案例

#### 1. 定义变量和参数
在综合能源系统中，定义变量和参数是建模的第一步。这些变量通常包括电力、热量和其他形式的能量流。通过`yalmip('clear')`可以清除之前的定义。

yalmip('clear')
sdpvar p_elec p_heat gas_input carbon_price hydrogen_production;

这里定义了几个关键变量：`p_elec`表示电功率；`p_heat`代表热能输出；`gas_input`为输入天然气量；`carbon_price`用于描述碳价格；而`hydrogen_production`则指代氢气产量[^2]。

#### 2. 建立约束条件
为了使模型更加贴近实际情况，在建立目标函数之前还需要设置一些必要的物理和技术上的限制：

- **能量平衡方程**

对于每一个时间间隔t内的电、热需求都应得到满足

  constraints = [sum(p_elec) >= demand_electricity, sum(p_heat)>=demand_heating];

- **设备运行范围**

所有生产设备的工作状态需保持在其允许范围内

  min_power <= p_elec <= max_power; % 发电机组最小最大出力限制
  min_heat_output <= p_heat <= max_heat_output;% 热源机组最小最大供热能力

- **碳排放限额**

考虑到环境影响因素，引入阶梯型碳交易机制来控制总CO₂释放量

  total_carbon_emission = f(carbon_price,gas_input);
  constraints = [constraints,total_carbon_emission<=allowed_emissions];

上述代码片段展示了如何利用YALMIP工具箱中的`sdpvar`对象构建线性和非线性的不等式/等式表达式作为优化问题的一部分。

#### 3. 设定目标函数并求解
最后一步就是指定成本最低化的目标函数，并调用合适的求解器（如CPLEX）来进行计算:

objective_function = c_1*p_elec + c_2*gas_input - revenue_from_hydrogen(hydrogen_production);

options = sdpsettings('solver','cplex');
optimize(constraints,-objective_function,options);

这段脚本说明了怎样组合不同的收入项与支出项形成最终要极小化的经济指标，同时也指定了采用哪种算法完成实际数值运算过程。

分段函数线性化 yalmip

### 实现分段函数的线性化

#### 使用YALMIP表示分段线性函数

在优化建模工具箱YALMIP中，可以利用内置功能来定义并处理分段线性函数。对于分段线性化的具体操作，通常涉及到将非线性的表达形式转换成一系列线性约束条件，以便于求解器能够更高效地找到全局最优解。

为了在线性规划框架内近似复杂的非线性关系，一种常见做法是通过引入辅助变量以及二进制决策变量来构建大M法模型[^1]。这种方法允许描述具有不同斜率区间的连续曲线片段。下面给出一段简单的MATLAB代码示例，展示如何使用YALMIP库创建一个带有三个区间的一维分段线性成本函数：

sdpvar x y z1 z2 b1 b2 % 定义符号变量
F = [z1 >= 0, z2 >= 0]; % 辅助变量非负约束
F = [F, b1>=0, b2>=0, b1+b2==1]; % 二进制选择向量
% 斜率为m1,m2,m3;截距为c1,c2,c3 的三段式线性方程组
m1=-5;m2=0;m3=3;c1=7;c2=4;c3=9;
F = [F, m1*x+c1<=y, y<=m2*x+c2];
F = [F, m2*x+c2<=y, y<=m3*x+c3];
F = [F, -bigM*(1-b1)<=x-x_breakpoint_1,-bigM*(1-b1)>=x-x_breakpoint_1];
F = [F, -bigM*(1-b2)<=x-x_breakpoint_2,-bigM*(1-b2)>=x-x_breakpoint_2];
optimize(F,y); % 调用求解器最小化目标函数y
value(x), value(y) % 输出计算后的x和对应的y值

上述例子展示了如何设置边界条件以确保当输入`x`位于特定范围内时激活相应的线性部分。这里采用了两个布尔型指示符(`b1`,`b2`)配合足够大的正数`bigM`来控制各段的有效范围；而实际应用中的断点位置则由用户自行指定。

值得注意的是，在某些情况下可能还需要考虑额外的因素如凸包络等高级技巧来进一步提高精度或降低保守度。此外，如果遇到更高维度或多输出的情况，则需相应调整策略。