二次罚函数法python

二次罚函数法是一种常用的无约束优化算法，可以用于求解无约束优化问题。具体实现方法如下：

假设要求解的无约束优化问题为：

min f(x)

其中，x是自变量，f(x)是目标函数。为了方便，我们将问题转化为等价的形式：

min F(x) = f(x) + P(x)

其中，P(x)是罚函数，是一个非负函数，用来惩罚不满足约束条件的解。一般选择二次罚函数：

P(x) = μ/2 ||g(x)||^2

其中，g(x)是约束函数，μ是罚因子。

二次罚函数法的基本思想是：从一个初始点开始，每次求解一个近似的罚函数问题，直到满足终止准则为止。具体步骤如下：

1. 选择一个初始点x0，设置参数μ和ε，ε是终止准则。
2. 计算F(x0)，如果F(x0) < ε，则停止迭代，输出x0；否则，转到下一步。
3. 求解带有罚函数的优化问题：

min Fμ(x) = f(x) + μ/2 ||g(x)||^2

得到最优解xμ。
4. 如果 ||g(xμ)|| < ε，则停止迭代，输出xμ；否则，令μ = ρμ，ρ > 1，转到步骤3。

下面是一个简单的Python实现：

import numpy as np

def quadratic_penalty_method(f, g, x0, mu=1, rho=10, eps=1e-6, max_iter=100):
    """
    二次罚函数法求解无约束优化问题
    :param f: 目标函数
    :param g: 约束函数
    :param x0: 初始点
    :param mu: 罚因子
    :param rho: 罚因子增长率
    :param eps: 终止准则
    :param max_iter: 最大迭代次数
    :return: 最优解
    """
    for i in range(max_iter):
        # 计算目标函数和罚函数
        F = lambda x: f(x) + mu/2 * np.linalg.norm(g(x))**2
        # 求解近似的罚函数问题
        res = minimize(F, x0)
        x_new, fx_new = res.x, res.fun
        if np.linalg.norm(g(x_new)) < eps:
            return x_new
        else:
            mu *= rho
            x0 = x_new
    return x_new

其中，f和g分别是目标函数和约束函数，x0是初始点，mu是罚因子，rho是罚因子增长率，eps是终止准则，max_iter是最大迭代次数。函数返回最优解。