用任意语言实现函数permutation(n, m)。要求: a. 对于整数m,当0<m<=n!,返回一个1至n的排列 b. 对于同一n,不同的m,返回不同的排列 c. 空间复杂度和时间复杂度均不超过O(n) 例如:m为1至6分别调用permutation(3, m)6次,所有返回结果组成(1,2,3)的全排列。
时间: 2024-02-25 07:53:33 浏览: 30
以下是Python的实现方式:
```
import math
def permutation(n, m):
nums = [i+1 for i in range(n)]
res = []
for i in range(n):
idx = math.floor((m-1)/math.factorial(n-1-i))
m -= idx*math.factorial(n-1-i)
res.append(nums[idx])
nums.pop(idx)
return res
```
我们先将1至n的数存入一个列表中。接着,对于每一个位置i,我们计算出当前数字的索引idx。具体来说,我们将m减去1,然后将它除以(n-1-i)的阶乘,得到的商就是当前数字的索引idx。我们将该数字添加到结果列表res中,并从nums列表中移除。最后返回res即可。
需要注意的是,我们将m减去1是为了保证当m等于n!时,idx为0,因为我们的索引是从0开始的。此外,我们使用了math库中的阶乘函数math.factorial(),其时间复杂度为O(n)。因此,整个算法的时间复杂度和空间复杂度都不超过O(n)。
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用任意语言实现函数permutation(n, m)。要求: a. 对于整数m,当0<m<=n!,返回一个1至n的排列 b. 对于同一n,不同的m,返回不同的排列 c. 空间复杂度和时间复杂度均不超过O(n)
以下是 Python 代码实现,使用了康托展开和康托展开的逆运算:
```python
def permutation(n, m):
# 阶乘
fact = 1
for i in range(2, n+1):
fact *= i
if m <= 0 or m > fact:
return None
# 康托展开
m -= 1 # 将 m 转化为从 0 开始的下标
nums = list(range(1, n+1))
res = []
for i in range(n-1, -1, -1):
fact //= (i+1)
index = m // fact
m %= fact
res.append(nums[index])
nums.pop(index)
return res
```
使用时,调用`permutation(n, m)`即可获取一个 1 到 n 的排列,其中 m 表示不同的排列。
解释一下函数的实现:
1. 首先计算 n 的阶乘,用于判断 m 是否在合法范围内。
2. 将 m 转化为从 0 开始的下标,方便后续计算。
3. 对于每个数字,计算它在当前剩余数字中的下标,使用康托展开公式计算出它的实际值,并将其从剩余数字中删除。重复该过程即可得到所有数字。
该算法的时间复杂度为 O(n),空间复杂度为 O(n)。
用任意语言实现函数permutation(n, m)。要求: a. 对于整数m,当0<m<=n!,返回一个1至n的排列 b. 对于同一n,不同的m,返回不同的排列 c. 空间复杂度和时间复杂度均不超过O(n)
以下是 Python 语言实现的函数 `permutation(n, m)`:
```
def permutation(n, m):
nums = list(range(1, n+1))
res = []
factorial = 1
for i in range(1, n+1):
factorial *= i
m -= 1
while n > 0:
factorial //= n
index = m // factorial
res.append(nums.pop(index))
m %= factorial
n -= 1
return res
```
该函数的实现思路是利用阶乘的性质,将 m 转换为 n 个数字的排列中第几个排列,然后通过不断地计算余数和商来得到每个位置对应的数字。
具体地,我们设要求的排列为 $p_1, p_2, ..., p_n$,则第 $i$ 个位置可以选择的数字为 $1,2,...,n$ 中没有被选过的数字中第 $i$ 大的数字,设第 $i$ 个位置选的数字为 $x_i$,则可以得到如下的式子:
$$m = (x_1 - 1) \times (n-1)! + (x_2 - 1) \times (n-2)! + ... + (x_n - 1) \times 0!$$
上述式子中每一项都是该位置选择的数字对总方案数的贡献,因为前面的位置已经选定了对应的数字,所以剩下的数字中第 $i$ 大的数字的排名为 $x_i$。
我们可以通过不断地计算 $m$ 对 $(n-1)!$ 的商和余数来得到每个位置选的数字。具体地,我们从 $n$ 到 $1$ 遍历每个位置,每次计算出当前位置选的数字在剩下的数字中的排名,然后将该数字从剩下的数字中删除。最后返回得到的排列即可。
该算法的时间复杂度为 $O(n)$,空间复杂度也为 $O(n)$。