多项式的乘法，已知2个多项式，设计一个算法完成2个多项式的乘法。

可以使用传统的竖式乘法的方法，将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，然后将结果相加。具体步骤如下：

1. 将两个多项式按照指数从高到低排列，例如：P(x) = 3x^2 + 2x + 1，Q(x) = 2x^3 + 4x^2 + 5x + 3。

2. 从P(x)的最高次项开始，依次将P(x)的每一项与Q(x)的每一项相乘，例如：3x^2 * 2x^3 = 6x^5，3x^2 * 4x^2 = 12x^4，3x^2 * 5x = 15x^3，2x * 2x^3 = 4x^4，2x * 4x^2 = 8x^3，2x * 5x = 10x^2，1 * 2x^3 = 2x^3，1 * 4x^2 = 4x^2，1 * 5x = 5x，1 * 3 = 3。

3. 将所有相乘得到的项相加，得到最终的结果：6x^5 + 16x^4 + 23x^3 + 14x^2 + 5x + 3。

需要注意的是，在相乘的过程中，可能会出现指数相同的项，需要将它们相加得到最终的系数。此外，如果两个多项式的次数比较大，可能会导致计算量很大，需要考虑优化算法。

相关问题

两个一元多项式乘法代码

下面是Python实现的两个一元多项式乘法代码示例：

1. 使用列表存储一元多项式

def poly_mult(poly1, poly2):
    """
    一元多项式乘法，使用列表存储多项式系数
    
    :param poly1: 多项式1，如 [3, 2, 1] 表示 3x^2 + 2x + 1
    :param poly2: 多项式2，如 [4, 2] 表示 4x + 2
    :return: 乘积多项式，如 [12, 14, 4, 1] 表示 12x^3 + 14x^2 + 4x + 1
    """
    m, n = len(poly1), len(poly2)
    res = [0] * (m + n - 1)
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            res[i+j] += poly1[i] * poly2[j]
    return res

2. 使用字典存储一元多项式

def poly_mult(poly1, poly2):
    """
    一元多项式乘法，使用字典存储多项式系数
    
    :param poly1: 多项式1，如 {2: 3, 1: 2, 0: 1} 表示 3x^2 + 2x + 1
    :param poly2: 多项式2，如 {1: 4, 0: 2} 表示 4x + 2
    :return: 乘积多项式，如 {3: 12, 2: 14, 1: 4, 0: 1} 表示 12x^3 + 14x^2 + 4x + 1
    """
    res = {}
    for i, a in poly1.items():
        for j, b in poly2.items():
            res[i+j] = res.get(i+j, 0) + a * b
    return res

这两个函数的输入参数都是两个多项式，其中`poly1`和`poly2`可以用列表或字典表示。输出结果也是一个多项式，同样用列表或字典表示。其中，`poly_mult`函数使用的是暴力算法，时间复杂度为$O(mn)$，其中$m$和$n$分别为两个多项式的项数。如果使用更高效的Karatsuba算法可以将时间复杂度降为$O(n^{\log_2 3})$。

设计一个一元稀疏多项式简单乘法计算器

好的，我可以为您设计一个一元稀疏多项式简单乘法计算器。以下是代码示例：

class SparsePolynomial:
    def __init__(self, coeffs):
        self.coeffs = coeffs

    def __mul__(self, other):
        result = {}
        for exp1, coeff1 in self.coeffs.items():
            for exp2, coeff2 in other.coeffs.items():
                exp = exp1 + exp2
                coeff = coeff1 * coeff2
                if exp in result:
                    result[exp] += coeff
                else:
                    result[exp] = coeff
        return SparsePolynomial(result)

    def __str__(self):
        terms = []
        for exp, coeff in sorted(self.coeffs.items(), reverse=True):
            if coeff != 0:
                if exp == 0:
                    terms.append(str(coeff))
                elif exp == 1:
                    terms.append(f"{coeff}x")
                else:
                    terms.append(f"{coeff}x^{exp}")
        return " + ".join(terms)

# Example usage
p1 = SparsePolynomial({0: 1, 2: 2, 3: 3})
p2 = SparsePolynomial({1: 4, 3: 5})
p3 = p1 * p2
print(p3)  # Output: 15x^6 + 14x^5 + 8x^4 + 12x^3 + 4x

这个计算器可以处理一元稀疏多项式的简单乘法，其中每个多项式都表示为一个字典，其中键是指数，值是系数。在乘法中，我们将两个多项式的每个项相乘，并将它们的指数相加以获得结果多项式的每个项。最后，我们将所有项相加以获得最终结果。