推导BDF2解一阶常微分方程的稳定性区间

考虑一阶常微分方程的BDF2格式为：

$$
\frac{3y_{n+1}-4y_n+y_{n-1}}{2\Delta t} = f(t_{n+1}, y_{n+1})
$$

将其改写为：

$$
y_{n+1} - \frac{4}{3}y_n + \frac{1}{3}y_{n-1} = \frac{2}{3}\Delta t f(t_{n+1}, y_{n+1})
$$

假设解为$y_n = \lambda^n$，代入上式得到：

$$
\lambda^{n+1} - \frac{4}{3}\lambda^n + \frac{1}{3}\lambda^{n-1} = \frac{2}{3}\Delta t f(t_{n+1}, \lambda^{n+1})
$$

移项得到：

$$
\lambda^{n+1} - \frac{2}{3}\Delta t f(t_{n+1}, \lambda^{n+1}) = \frac{4}{3}\lambda^n - \frac{1}{3}\lambda^{n-1}
$$

定义$g(\lambda) = \lambda - \frac{2}{3}\Delta t f(t_{n+1}, \lambda)$，则上式可以改写为：

$$
g(\lambda^{n+1}) = \frac{4}{3}\lambda^n - \frac{1}{3}\lambda^{n-1}
$$

对上式两边同时取模，得到：

$$
|g(\lambda^{n+1})| \leq \frac{4}{3}|\lambda^n| + \frac{1}{3}|\lambda^{n-1}|
$$

由于是一阶常微分方程，所以可以假设$|\lambda^n| = r^n$，其中$r$为待求的稳定性因子。代入上式得到：

$$
|g(r)| \leq \frac{4}{3}r^n + \frac{1}{3}r^{n-1}
$$

将$n=1$代入上式得到：

$$
|g(r)| \leq \frac{4}{3}r + \frac{1}{3}
$$

显然，只有当$|g(r)| < 1$时，才能保证解的稳定性。因此，需要满足：

$$
\frac{4}{3}r + \frac{1}{3} < 1
$$

解得：

$$
0 < r < \frac{1}{2}
$$

因此，BDF2格式的稳定性区间为：

$$
0 < \Delta t < \frac{2}{3\lambda_{max}}
$$

其中$\lambda_{max}$为微分方程在稳态时的最大特征值。