运用极大似然估计法求解威布尔分布参数公式

对于威布尔分布，其概率密度函数为:

$$f(x)=\frac{\beta}{\alpha}(\frac{x}{\alpha})^{\beta-1}e^{-(\frac{x}{\alpha})^{\beta}}$$

其中，$\alpha$ 和 $\beta$ 分别为威布尔分布的形状参数和尺度参数。现在假设我们有 $n$ 个独立同分布的样本 $x_1,x_2,\dots,x_n$，我们的目标是基于这些样本数据，求解出威布尔分布的参数 $\alpha$ 和 $\beta$。

通过极大似然估计法，我们可以求出最大化样本数据的概率密度函数，即：

$$L(\alpha,\beta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i)=\prod_{i=1}^{n}\frac{\beta}{\alpha}(\frac{x_i}{\alpha})^{\beta-1}e^{-(\frac{x_i}{\alpha})^{\beta}}$$

为了便于求解，我们通常对 $L(\alpha,\beta)$ 取对数，即：

$$lnL(\alpha,\beta)=\sum_{i=1}^{n}ln(\frac{\beta}{\alpha})+(\beta-1)ln(x_i)-(\frac{x_i}{\alpha})^{\beta}$$

接着我们对 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别求偏导数，并令其等于 0，得到如下方程组：

$$\frac{\partial lnL(\alpha,\beta)}{\partial \alpha}=-\frac{n\beta}{\alpha}+\frac{\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i}{\alpha})^{\beta}}{\alpha}=0$$

$$\frac{\partial lnL(\alpha,\beta)}{\partial \beta}=\sum_{i=1}^{n}ln(\frac{x_i}{\alpha})-(\frac{x_i}{\alpha})^{\beta}ln(\frac{x_i}{\alpha})=0$$

通过求解上述方程组，可以得到威布尔分布的参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 的估计值。需要注意的是，求解过程中可能会存在多个极值点，因此需要利用数值优化方法来找到全局最优解。