tdoa chan算法推导

TDOA（Time Difference of Arrival）算法是一种基于到达时间差的定位算法，可以通过接收器收到信号的到达时间差来确定源的位置。其中，TDOA Chan是一种高效的TDOA算法，可以在低信噪比情况下准确定位，下面将对TDOA Chan算法的推导进行介绍。

首先，假设有M个接收器，它们分别接收到源发出的信号，到达时间分别为t1,t2,…,tM。则源位置(x,y)到第i个接收器的距离可以表示为：

d_i=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}

因为定位时最小化误差，所以我们可以将误差函数表示为：

f(x,y)=\sum_{i=1}^{M}(T_i-(\tau+t_0-t_i-\frac{d_i}{c}))^2

其中，T_i表示从源到第i个接收器需要的时间，\tau表示源发出信号的时间偏移量，t_0表示接收器和源之间的传播时间，c为光速。

通过对误差函数进行求导，我们得到以下两个方程：

\frac{\partial f}{\partial x}=2\sum_{i=1}^M[ (T_i-(\tau+t_0-t_i- \frac{d_i}{c}))\frac{(x-x_i)}{d_i}]

\frac{\partial f}{\partial y}=2\sum_{i=1}^M[ (T_i-(\tau+t_0-t_i- \frac{d_i}{c}))\frac{(y-y_i)}{d_i}]

然后，我们可以将\tau和t_0表示为接收器间的时间差，即

\tau=t_1+\Delta_{12},t_2=t_1+\Delta_{23},...,t_{M-1}=t_1+\Delta_{M-1,M}

t_0=\frac{d_1}{c}+\frac{d_2}{c}+...+\frac{d_M}{c}

其中，\Delta_{ij}=t_j-t_i表示第i个接收器比第j个接收器先接收到信号的时间差。

接下来，我们可以使用Chan算法来解决这个无约束最优化问题。Chan算法中，首先要计算接收器间的时间差（距离），然后使用加权迭代算法来求解。

最后，通过多次迭代，我们可以得到源的位置。TDOA Chan算法具有高定位精度和低计算复杂度的特点，因此在实际应用中有广泛的应用。