Montrer ∫nπ (n+1)π｜sint/t｜dt≥2/(n+1)

首先，我们可以将绝对值符号去掉，因为被积函数在区间 $[n\pi,(n+1)\pi]$ 上恒为正。

然后，我们可以使用分部积分法来解决这个积分。

设 $u=\sin t$，$dv=\frac{dt}{t}$，则 $du=\cos t dt$，$v=\ln t$。

所以，原始积分化为：

$$\begin{aligned} \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\sin t}{t} dt &= \left[-\frac{\cos t}{t}\ln t\right]_{n\pi}^{(n+1)\pi} - \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\cos t}{t^2} dt \\ &= \frac{\cos(n\pi)}{n\pi}\ln(n\pi) - \frac{\cos((n+1)\pi)}{(n+1)\pi}\ln((n+1)\pi) - \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\cos t}{t^2} dt \\ &= \frac{(-1)^n}{n\pi}\ln(n\pi) - \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)\pi}\ln((n+1)\pi) - \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\cos t}{t^2} dt \end{aligned}$$

考虑到 $\cos t$ 在 $[n\pi,(n+1)\pi]$ 上恒为 $1$ 或 $-1$，所以：

$$\begin{aligned} \left|\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\cos t}{t^2} dt\right| &= \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{|\cos t|}{t^2} dt \\ &\leq \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{1}{t^2} dt \\ &= \frac{1}{n\pi} - \frac{1}{(n+1)\pi} \\ &= \frac{1}{n(n+1)\pi} \end{aligned}$$

因此，原始积分的下界为：

$$\begin{aligned} \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\sin t}{t} dt &\geq \frac{(-1)^n}{n\pi}\ln(n\pi) - \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)\pi}\ln((n+1)\pi) - \frac{1}{n(n+1)\pi} \\ &= \frac{(-1)^n}{n\pi}\ln\left(\frac{n\pi}{n+1}\right) + \frac{(-1)^n}{n(n+1)\pi} \end{aligned}$$

当 $n\geq 1$ 时，我们有：

$$\begin{aligned} \frac{(-1)^n}{n\pi}\ln\left(\frac{n\pi}{n+1}\right) + \frac{(-1)^n}{n(n+1)\pi} &\geq \frac{(-1)^n}{n\pi}\ln\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{(-1)^n}{4n\pi} \\ &= \frac{(-1)^n}{n\pi}\left[\ln\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{4}\right] \\ &\geq \frac{(-1)^n}{n\pi}\cdot\frac{1}{4} \\ &= \frac{(-1)^n}{4n\pi} \end{aligned}$$

因此，原始积分的下界为：

$$\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\sin t}{t} dt \geq \frac{(-1)^n}{4n\pi}$$

我们还需要证明：

$$\frac{1}{(n+1)\pi} \geq \frac{(-1)^n}{4n\pi}$$

当 $n$ 为偶数时，左边不等式成立，右边不等式也成立。

当 $n$ 为奇数时，左边不等式变为：

$$\frac{1}{(n+1)\pi} > \frac{1}{4n\pi}$$

两边同时乘以 $4n(n+1)\pi$，得到：

$$4n > n + 1$$

这显然成立，因此右边不等式在所有 $n$ 的情况下都成立。

综上所述，我们证明了：

$$\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\sin t}{t} dt \geq \frac{(-1)^n}{4n\pi}$$

进而有：

$$\int_{n\pi}^{N\pi} \frac{|\sin t|}{t} dt \geq \sum_{k=n}^{N-1} \frac{1}{(2k+1)\pi} \geq \int_n^{N-1} \frac{dx}{(2x+1)\pi} = \frac{1}{2\pi}\ln\frac{2N+1}{2n+1}$$

当 $N\rightarrow\infty$ 时，有：

$$\int_{n\pi}^\infty \frac{|\sin t|}{t} dt \geq \frac{1}{2\pi}\ln(2n+1)$$

因此，原题中的不等式成立。