矩阵A 为 [a1 a2 a3] ，a1=[6 -2 -1]的转置 a2=[-2 6 -1]的转置 a3=[-1 -1 5]的转置 找出正交阵Q 用数学解答

首先，我们需要验证矩阵A是否正交。如果矩阵A是正交的，则A的转置矩阵乘以A的结果为单位矩阵。

A的转置矩阵为：

A^T = [ 6 -2 -1 ]
[-2 6 -1 ]
[-1 -1 5 ]

A的转置矩阵乘以A为：

A^T*A = [ 41 -11 -11 ]
[-11 41 -7 ]
[-11 -7 27 ]

我们可以看到，A^T*A不是一个单位矩阵，因此矩阵A不是正交的。

为了找到一个正交矩阵Q，我们可以使用Gram-Schmidt正交化方法。该方法将一个线性无关的向量组转换为正交向量组。

首先，我们将矩阵A的第一个向量作为Q的第一个向量：

q1 = a1 / ||a1|| = [ 6/7 -2/7 -1/7 ]

然后，我们需要将a2投影到q1上，并将其与a2相减，得到q2：

q2 = (a2 - (a2·q1)q1) / ||(a2 - (a2·q1)q1)|| = [ -2/3 2/3 -1/3 ]

最后，我们需要将a3投影到q1和q2上，并将其与a3相减，得到q3：

q3 = (a3 - (a3·q1)q1 - (a3·q2)q2) / ||(a3 - (a3·q1)q1 - (a3·q2)q2)|| = [ -1/3 -1/3 1/3 ]

因此，正交矩阵Q为：

Q = [ 6/7 -2/3 -1/3 ]
[ -2/7 2/3 -1/3 ]
[ -1/7 -1/3 1/3 ]