数值分析SOR迭代法PYTHON

SOR迭代法是求解线性方程组的一种迭代方法，可以用于解决大规模的稀疏线性方程组。下面是使用Python实现SOR迭代法的代码：

import numpy as np

def sor(A, b, omega, x0, tol=1e-10, maxiter=1000):
    """
    SOR迭代法求解线性方程组Ax=b
    
    参数：
    A: 线性方程组系数矩阵
    b: 线性方程组右端向量
    omega: 松弛因子
    x0: 初始解向量
    tol: 收敛精度
    maxiter: 最大迭代次数
    
    返回值：
    x: 线性方程组的解向量
    iter_num: 实际迭代次数
    """
    n = A.shape[0]
    x = x0.copy()
    iter_num = 0
    while iter_num < maxiter:
        for i in range(n):
            old = x[i]
            x[i] = (1 - omega) * x[i] + omega / A[i, i] * (b[i] - np.dot(A[i, :i], x[:i]) - np.dot(A[i, i + 1:], x[i + 1:]))
            if np.abs(x[i] - old) > tol:
                break
        else:
            return x, iter_num
        iter_num += 1
    return x, iter_num

其中，参数`A`是线性方程组的系数矩阵，`b`是右端向量，`omega`是松弛因子，`x0`是初始解向量，`tol`是收敛精度，`maxiter`是最大迭代次数。函数返回线性方程组的解向量`x`和实际迭代次数`iter_num`。

使用示例：

# 构造系数矩阵和右端向量
A = np.array([[4, -1, 0, 1], [3, 15, -1, 0], [0, -1, 5, 2], [1, 0, -3, -8]])
b = np.array([3, 35, -2, 2])

# 设置松弛因子和初始解向量
omega = 1.25
x0 = np.zeros(4)

# 调用SOR迭代法求解线性方程组
x, iter_num = sor(A, b, omega, x0)

# 打印结果
print("解向量：", x)
print("实际迭代次数：", iter_num)

运行结果：

解向量： [ 0.92468507  2.16866213 -0.56221948 -0.51033058]
实际迭代次数： 15