高斯伪谱法matlab代码

以下是使用高斯伪谱法求解常微分方程的 MATLAB 代码示例：

function [t, y] = gauss_pseudospectral(f, tspan, y0, N)
% 高斯伪谱法求解常微分方程
% f: 函数句柄，表示 y' = f(t, y)
% tspan: 时间区间 [t0, tf]
% y0: 初始值
% N: 分段数（节点数为 N+1）

t0 = tspan(1);
tf = tspan(2);

% 计算 Gauss-Lobatto 节点和权重
[t_nodes, w_nodes] = gauss_lobatto_nodes_weights(N);

% 计算 Chebyshev 多项式
T = chebyshev_polynomial(N, t_nodes);

% 计算每个子区间的时间宽度
h = (tf - t0) / N;

% 构造辅助变量
y = zeros(N+1, length(y0));
F = zeros(N+1, length(y0));

% 初始化初始值
y(1, :) = y0;

% 迭代求解
for i = 1:N
    % 构造每个子区间的时间区间
    tspan_i = [t_nodes(i), t_nodes(i+1)];
    
    % 构造 Chebyshev 插值多项式
    P = chebyshev_interpolation(T(i:i+1, :), y(i:i+1, :));
    
    % 计算辅助函数值
    for j = 1:length(y0)
        F(i, j) = f(t_nodes(i), y(i, :)) * P(j, 1) + f(t_nodes(i+1), y(i+1, :)) * P(j, 2);
    end
    
    % 计算下一个节点的解
    y(i+1, :) = y(i, :) + h * (T(i+1, :) * F(i, :)');
end

% 输出时间和解
t = linspace(t0, tf, N+1);
y = y';
end

function [x, w] = gauss_lobatto_nodes_weights(n)
% 计算 Gauss-Lobatto 节点和权重
% n: 节点数
% x: 节点
% w: 权重

if n == 0
    x = 0;
    w = 2;
    return
end

x = -cos(pi*(0:n)/n);
w = zeros(1, n+1);
w(1) = 1/(n^2-1);
w(n+1) = w(1);
for k = 2:n
    w(k) = 2/((n*(n+1))^2 - (2*k-1)^2);
end
end

function T = chebyshev_polynomial(n, x)
% 计算 Chebyshev 多项式
% n: 多项式次数
% x: 自变量
% T: 多项式值

T = zeros(n+1, length(x));
T(1, :) = 1;
if n == 0
    return
end
T(2, :) = x;
for k = 2:n
    T(k+1, :) = 2 * x .* T(k, :) - T(k-1, :);
end
end

function P = chebyshev_interpolation(T, y)
% 计算 Chebyshev 插值多项式
% T: Chebyshev 多项式
% y: 每个节点的函数值
% P: 插值多项式系数

n = size(T, 2) - 1;
P = zeros(length(y), 2);
for j = 1:length(y)
    A = zeros(n+2, n+2);
    for i = 1:n+1
        A(i, :) = T(:, i)';
    end
    A(n+2, j) = 1;
    b = zeros(n+2, 1);
    b(1:n+1) = y(:, j);
    c = A \ b;
    P(j, :) = [c(1), c(n+2)];
end
end

使用方法：

假设要求解的方程为 $y' = f(t, y)$，其中 $f$ 是一个函数句柄，表示 $f(t, y)$，$t$ 是时间，$y$ 是 $n$ 维向量。初始条件为 $y(t_0) = y_0$，时间区间为 $[t_0, t_f]$，分为 $N$ 段。则可以调用以下代码：

f = @(t, y) [y(2); -sin(y(1))];
tspan = [0, 10];
y0 = [1; 0];
N = 100;
[t, y] = gauss_pseudospectral(f, tspan, y0, N);

其中 `f` 表示方程右边的函数，`tspan` 表示时间区间，`y0` 表示初始值，`N` 表示分段数。返回值 `t` 和 `y` 分别表示时间和解。